衝激函數

衝激函數的定義為：

通常，單位衝激函數

滿足：

（1）當

時，

（2）

單位衝激函數

又稱Dirac函數或者

函數。

注：單位衝激函數

並不是經典意義下的函數，而是一個廣義函數（或者奇異函數），它不能用通常意義下的“值的對應關係”來理解和使用，而是通過它的性質來使用。 ^[1] 

選擇一類性能良好的函數

，稱為檢驗函數

（它相當於定義域），一個廣義函數

對檢驗函數空間中的每個函數

賦予一個數值

的映射，該數與廣義函數

和檢驗函數

有關，記作

。廣義函數可寫為

衝擊函數

與檢驗函數的作用效果是從

中篩選出它在

時刻的函數值

，這常稱為衝擊函數的取樣性質（或篩選性質）。簡言之，能從檢驗函數

中篩選出函數值

的廣義函數就稱為衝擊函數

^[1]  。

如果信號

是一個在

處連續的普通函數，則有

上式表明，信號

與衝激函數相乘，篩選出連續時間信號

在

時的函數值

，可以理解為衝激函數在

時刻對函數

的一瞬間的作用，其值是衝激函數和

相乘的結果，瞬間趨於無窮大 ^[2]  。

如果信號

是一個在

處連續的普通函數，則有

衝激信號的取樣特性表明，一個連續時間信號

與衝激函數相乘，並在時間域

上積分，其結果為信號

在

時的函數值

。該式可以理解為衝激函數作用於函數

，趨於穩態時最終作用的結果，即得到信號

在

時刻的值

^[2]  。

衝激函數的導數性質如下：

其證明如下：

^[3] 

衝激函數的尺度變換性質如下：

其推論明如下：

（1）

（2）

（3） 當

時，

（4）

，

為偶函數

（5）

，

為奇函數

衝激函數可用於信號處理，通過沖激函數來表示複雜的信號，可以簡化對複雜信號的一些特性的研究。衝激函數及其延時衝激函數的線性組合來表示或逼近，再利用系統的迭加原理，可以通過簡單的信號如單位衝激函數的頻譜，以及頻域特性來討論比較複雜信號的頻譜。從而減少計算複雜信號頻譜的難度 ^[1]  。