奇異函數

奇異函數通常是指下列函數族：

當n>0或n=0時，且

時，

，否則

;

當n<0時，若

,則

，否則

。

上式中< >一般稱為麥考利（W.H.Macauley）括號。

在物理學中，經常要用處理一些包含某種無窮大的量以及不連續函數的微分等問題，因而引入一種“非正規函數”。這種函數最初於二十世紀三十年代，由著名物理學家狄拉克在量子力學研究中引入和定義。後來被命名為“狄裏克δ函數”，簡稱為“δ函數”。五十年代法國數學家施瓦茨在深入研究δ函數性質的基礎上，創立了分佈論（亦即廣義函數論）。他從理論上嚴格證實了不僅可以使用δ函數，而且還可以δ函數及其各階導數，從而使δ函數理論趨於完整和嚴密。

在物理學中，人們習慣的將包括δ函數的各階導數，亥維賽（O.Heaviside）階躍函數（簡稱為階躍函數）及其各階積分的函數族稱為奇異函數。在物理學中，奇異函數應用最多的是階躍函數u(t)和δ函數δ(t)。

（1）力學中,集中量和分佈量是經常遇到的兩種物理模型。如集中質量和分佈質量,瞬時作用力和持續力等等。集中量和分佈量的差異,給使用基於連續函數的傳統解法帶來了限制,因而在傳統的力學中,當遇到因集中量造成的不連續時,往往將對一個完整的問題的論述與表達進行分割和支離式的處理。實際上集中量與分佈量可以用統一的方法來處理,所用的數學工具就是奇異函數。

（2）電路分析中,階躍函數是常用函數。當要表示一分段表示的信號時,利用階躍函數則一目瞭然。例如，可用階躍函數表示理想化了的開關接通信號源的情況。當信號為脈衝形式,利用階躍函數則使表達式變得簡單。

2.利用奇異函數解決起始點跳變值的確定問題

3.在信號分析中，視奇異函數為單元函數，可把任一函數分解為奇異函數的和，此時用該分解求線性非時變系統的零狀態響應。

在材料力學中,一般是用截面法及積分法來求解梁彎曲時的內力及變形。此法對於載荷在梁長度上連續變化時比較方便,但當樑上出現不連續載荷時,如一個樑上同時作用多個集中力、集中力偶及分佈力時,則必須分段寫出不同組的剪力和彎矩方程,常常導致很繁瑣的結果。例如,在求解梁的變形時,當樑上外力情況複雜時,將梁分成n段,對於彎矩M(x)在不同區段內的表達式分別列出n個撓曲線微分方程;然後逐段分別積分兩次,得到2n個積分常數,再由邊界條件及連續條件求得。如果採用奇異函數,則可使某些問題的演算大為簡化。由於奇異函數所表達出不連續性,那麼,作為軸向位置函數的載荷集度(每單位長度的力)就能以一個方程的形式寫出,直接積分就得到整個梁的剪力方程,而剪力方程的積分就得到整個梁的彎矩方程。這樣,可根據一個方程直接觀察到整個梁的內力情況。如果對彎矩方程再積分兩次,則可得到一個方程表示整個梁的撓曲線,這時僅有兩個積分常數需滿足支坐邊界條件 ^[2]  。