彎矩

彎矩是受力構件截面上的內力矩的一種，即垂直於橫截面的內力系的合力偶矩。構件上某個截面的彎矩，其大小為該截面截取的構件部分上所有外力對該截面形心矩的代數和。

比如説一個懸臂樑，當梁端力為P，梁長為A，剛固端彎矩為PA，而梁的跨中彎矩為PA/2 ^[1]  ，按這個做法可以簡單算，不過更深的算法要見《材料力學》了 ^[2]  。

圖4中，M就是彎矩作用，v就是剪力作用，n就是軸力作用。

一般而言，在不同的學科中彎矩的正負有不同的規定。規定了彎矩的正負，就可以將彎矩進行代數計算。

在傳統材料力學教程中，規定截面上的彎矩使該截面的臨近微段向下凸時取正號，反之則取負號；而在結構力學中定義則正好相反，工程實際中，如果沒有特別説明，一般引用結構力學中的定義法。 ^[1] 

凡截面左側樑上外力對截面形心之矩為順時針轉向，或截面右側外力對截面形心之矩為逆時針轉向，都將產生正的彎矩，故均取正號；反之為負，即“左順右逆，彎矩為正” ^[3]  。

對於土木工程結構中的一根梁（指水平向的構件），當構件區段下側受拉時，我們稱此區段所受彎矩為正彎矩；當構件區段上側受拉時，我們稱此區段所受彎矩為負彎矩。

PKPM給出的彎矩方向：

作用力方向（對基礎）：軸力 N 壓為正（↓）；

彎矩 M 順時針為正（-↓）；

剪力 V 順時針為正（→）。

彎矩公式：

　(M_max表示最大彎矩，F表示外力，L即為力臂)。

彎矩圖是一種圖線，用來表示梁的各橫截面上彎矩沿軸線的變化情況。總結規律如下： ^[2] 

（1）在梁的某一段內，若無分佈載荷作用，即q(x)=0，由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知，M(x)是x的一次函數，彎矩圖是斜直線。

（2）在梁的某一段內，若作用分佈載荷作用，即q(x)=常數，則d²M(x)/dx²=q(x)=常數，可以得到M(x)是x的二次函數。彎矩圖是拋物線。

（3）在梁的某一截面內，若F_s(x)=dM(x)/dx=0,則在這一截面上彎矩有一極值（極大或極小）。即彎矩的極值發生在剪力為零的截面上。

圖6-9 　a、b、c分別畫出了同一根粱AB受q、M₀兩種載荷作用、q單獨作用及M₀單獨作用的三種受力情況。

在q、M₀共同作用時

V_A=ql/2+M₀/l V_S=ql/2+M₀/l

從計算結果中可以看到，梁的支座反力和彎矩都是荷載(q、M₀)的一次函數，即反力或彎矩與荷載成線性關係。這時，g、M₀共同作用F所產生的反力或彎矩等於g與M₀單獨作用時所產生的反力或彎矩的代數和：

這種關係不僅在本例中存在，而且在其他力學計算中普遍存在， 即只要反力、彎矩（或其他量）與載荷成線性關係，則若干個載荷共同引起的反力、彎矩（或其他量）等於各個載荷單獨引起的反力、彎矩（或其他量）相疊加。這種關係稱為疊加原理。應用疊加原理的前提是構件處在小變形情況下，這時各荷載對構件的影響各自獨立。 ^[4]