萊布尼茨公式

我們先定義積分的連續性。若函數

在有界區域

內有定義並且是連續的，則

是在閉區間

上的連續函數。如果一個函數

滿足上述條件，且偏導數

在區域

內連續，則當

時成立Leibniz公式

在更一般的情況下，當積分的下限和上限為參數

的可微函數

和

，並且當

時

，

，則有

。説的通俗易懂一些，就是用關於參數y的積分上下限函數替換被積函數中的積分變量x。

在數學中，微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。當某些函數f的自變量x有一個微小的改變h時，函數的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分，另一部分是比h更高階的無窮小，這種表示方法成為微分法。

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量

映射到變化量的線性部分的線性映射

。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

在數學中，微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。當某些函數

的自變量

有一個微小的改變

時，函數的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變量的變化量

，可以表示成

和一個與

無關，只與函數

及

有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在

上的值。另一部分是比

更高階的無窮小，也就是説除以

後仍然會趨於零。當改變量

很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在

處的微分，記作

或

。如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

設函數

在某區間

內有定義。對於

內一點

，當

變動到附近的

（也在此區間內）時，如果函數的增量

可表示為

（其中

是不依賴於

的常數），而

是比高階的無窮小，那麼稱函數

在點

是可微的，且

稱作函數在點

相應於自變量增量

的微分，記作

，即

，

是

的線性主部。 ^[1] 

通常把自變量

的增量

稱為自變量的微分，記作

，即

。

德國自然科學家，客觀唯心主義哲學家，啓蒙思想家。生於萊比錫，死於漢諾威。早年就讀於萊比錫大學，於1663年獲得學士學位。1667年又獲阿爾特多夫大學法學博士學位。曾任美因茨選帝侯的外交官、宮廷顧問、圖書館長等職。1673年當選為英國皇家學會會員 ^[3]  。1700年創建了柏林科學院，擔任該院第一任院長 ^[3]  。曾旅遊英、法、荷等國。主要著作有：《人類理智新論》(1765年)、《神正論》(1710年)、《單子論》(1714年)、《刑而上原論》，以及若干論文和大量信件。20世紀70年代，柏林科學院出版了17卷的《萊布尼茨著作與書信全集》。成就是多方面的。在數學上，與牛頓並稱為微積分的創始人，改進了帕斯卡的加法器，設計並製造了一種手搖的演算機，提出了自認為是和中國“先天八卦”相吻合的二進制，影響了後代計算技術的發展。在邏輯學上，最先提出充足理由律，是數理邏輯的先驅。在哲學上，建立了客觀唯心主義體系的“單子論”。在認識論上，是唯心主義的先驗論。在政治法律思想上，主張天賦人權，強調人的理性，認為自然法是理性的規範。萊布尼茨的自然法乃至國家理論，法律理論是同自然、宗教、道德及神內在地結合在一起的。認為人的道德生活在於求得自己本質的漸次的展開，經過整體不斷的理性努力，使人達到更大的完善。在“自我完善”倫理生活中，存在着一切道德的、社會的規範的根據——自然道德法則。這種自然道德法則是法律和國家的根本原理。國家的形成是基於人類自然的素質，是憑藉理性的認識而合理生成的。與社會形成的發展相適應，將自然法分成三個階段：第一個階段，在自然狀態中，把自然法可看作為“平均的正義”或“交換的正義”，它要求不侵犯他人，人人自由平等、互相尊重。為了人類的共同福利，需要相互限制任意行使的自然權利，由自然狀態進入國家狀態。第二個階段，在國家狀態下，自然法實現了“分配正義”的統治，其明晰的意識和合理的認識得到進一步的提高。這時的國家是法律上的統一的人格，它有其超出君主和人民的變更的永久性。理想的政體形式是“開明君主制”。認為，人民有服從君主的義務，亦有反抗君主的權利。國家的目是保證“人的完美”和共同幸福的實現。自然法的第三個階段，亦是最高階段，即進入“普遍正義”。這時的國家是人類社會最高的最完善的國家形式——“普遍國家”。萊布尼茨的學説影響了康德、黑格爾、費希特的思想。 ^[2]