耿貝爾分佈

耿貝爾分佈是根據極值定理導出。由費雪 (R. A. Fisher) 和蒂培特 (L. H. C. Tippett) 於 1928 年發現，各個樣本的最大值 X 的概率分佈函數趨於廣義極值分佈

其中 k 為形狀參數，μ 為中心參數，σ 為展寬參數。稱 k → 0 的分佈為耿貝爾分佈，也叫做第 I 類極值分佈。此時分佈函數趨於雙指數形式 P(X < x) = exp (-exp [-(x – μ) / σ])，x 的定義域是 (-∞,+∞)。一般地，x 的定義域為 1 + k (x – μ) / σ > 0.

第 I 類極值分佈 (k = 0) 下，最大值分佈的尾巴是指數分佈，即 P(X < x) ≈ 1 – exp [-(x – μ) / σ], x – μ >> σ.

第 II 類極值分佈 (k > 0) 下，最大值分佈的尾巴是冪律分佈，即 P(X < x) ≈ 1 – [1 + k (x – μ) / σ]^-1/k, x – μ >> σ.

第 III 類極值分佈 (k < 0) 下，最大值分佈有上確界 x_m = μ + σ / |k|，滿足 P(X < x) ≈ 1 – [|k| (x_m – x) / σ]^1/|k|, x → x_m.

水文方面主要用第 I 類漸近極值分佈，是耿貝爾在 1941 年將此分佈應用於洪水頻率分析工作，所以也稱 Fisher-Tippett 型分佈。 ^[1]  廣義極值分佈的形狀參數 k 則考慮了最大值分佈為指數尾巴、冪律尾巴、有上界的各種情況，可作為一個更通用的模型來擬合數據。例如地震的能量和發生概率之間就是一個冪律分佈關係，屬於第 II 類漸近極值分佈。

耿貝爾分佈主要是適用於對海洋、水文、氣象，來計算不同重現期的極端高（低）潮位。 ^[1]  海洋的年最高水位可以認為是由天文潮和許多隨機因子的影響形成的。因此，它可以用耿貝爾極值 I 型分佈函數進行擬合。 ^[2]