概率分佈函數

概率分佈函數是描述隨機變量取值分佈規律的數學表示。對於任何實數x，事件[X<x]的概率當然是一個x的函數。令

，顯然有

，稱F(x)為隨機變量X的分佈函數。所以，分佈函數F(x)完全決定了事件[a≤X≤b]的概率，或者説分佈函數F(x)完整地描述了隨機變量X的統計特性。

常見的離散型隨機變量分佈模型有“0-1分佈”、二項式分佈、泊松分佈等；連續型隨機變量分佈模型有均勻分佈、正態分佈、瑞利分佈等。

對於離散型隨機變量，設

為變量X的取值，而

為對應上述取值的概率，則離散型隨機變量X的概率分佈為

且概率

應滿足條

。因此，離散型隨機變量X的概率分佈函數為

對於連續型隨機變量，設變量X取值於區間(a，b)，並假設其分佈函數F(x)為單調增函數，且在

間可微分及其導數F’(x)在此區間連續，則變量X落在x至

區間內的概率為

為描述其概率分佈規律，這時不可能用分佈列表示，而是引入“概率分佈密度函數”

的新概念。定義概率分佈函數F(x)的導數F’(x)為概率分佈密度函數f(x)，即

於是連續型隨機變量X的概率分佈函數可寫為常用的概率積分公式的形式：

這樣，只要已知某一連續型隨機變量X的概率分佈密度函數f(x)，即可求得X落在某一區間

內的概率：

與離散型隨機變量的概率函數一樣．對於分佈密度函數，有

連續型隨機變量的分佈密度函數

．以及與它對應的分佈函數F(x)的圖形分別如圖1和圖2所示。有時稱f(x)的圖形為分佈曲線，而稱F(x)的圖形為累積分佈曲線。 ^[1] 

分佈函數F(x)是一個普通函數。正是通過它才能用數學分析的方法來研究隨機變量。如果將X看成是數軸上隨機點的座標，那麼分佈函數F(x)在x處的函數值就表示X落在區間

的概率。

分佈函數F(x)具有下述基本性質：

①F(x)為單調非降函數：

②

右連續； ^[3] 

③

。 ^[1] 

綜上所述，概率分佈函數是隨機變量特性的表徵，它決定了隨機變量取值的分佈規律，只要已知了概率分佈函數，就可以算出隨機變量落於某處的概率。 ^[2]