極值分佈

設

為從總體F抽出的獨立同分布樣本，且

如果存在常數

及

，使

依分佈收斂於G(x)，則稱G(x)為一極大值分佈；類似地定義極小值分佈。它們統稱為極值分佈，而分佈F稱為“底分佈”。

兩個分佈函數

和

稱為是同類的，若存在常數a>0及b，使

，並記為

。

顯然，這種關係具有自反、對稱和傳遞性。

極值分佈的三大類型(Fisher—Tippett Theorem)：若G(x)為一連續極值分佈，則G必與下列三個分佈函數之一同類：

分別稱為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型極值分佈，也分別稱為Gumbel、Fr6cht、Weibull型極值分佈。

一般的Gumbel型極值分佈為

相應的生存函數為

當T服從威布爾分佈且有密度函數式一般的Gumbel型極值分佈時，

就服從

和眾數為

的一般Gumbel型極值分佈。 ^[1] 

最小極值Ⅰ型分佈簡稱極小值分佈，其分佈密度函數和分佈函數分別為

及

式中

——位置參數，實際上是分佈的眾數；

——尺度參數，與分佈的離散性有關。

必須注意，

和

不是分佈的均值及標準差，但與它們有關，分佈密度函數式的圖形見圖1。圖1中曲線為

的情況，由圖1可知，極小值分佈為一偏態分佈(左偏)。

1.標準極小值分佈,

令

，則

，代入上述分佈密度函數和分佈函數式子中得到Z的密度函數及分佈函數分別為

上兩式稱為標準極小值分佈，並且與分佈參數

及

無關。

2．標準極小值分佈的期望值及方差,

令

，代入上式得

上式積分為一常數，稱作歐拉(Euler)常數。通常記為“

”即

又

所以

3．極小值分佈的期望值及方差,

因為

所以

及

如果已知樣本的試驗數據，則可以計算總體的均值及標準差的估計值

及s，再由

和

的等式可以得到極小值分佈的位置參數

及尺度參數

的估計值：

最大極值Ⅰ型漸近分佈密度函數和分佈函數分別為

式中，

——位置參數；

——尺度參數。

極大值分佈密度函數的圖形如圖2所示。

1.標準極大值分佈

令，則

，代入最大極值Ⅰ型漸近分佈密度函數和分佈函數兩式中，得到

及

上兩式稱為標準極大值分佈密度函數及分佈函數，它們與分佈參數

無關。

標準極大值分佈的期望值及方差分別為

2．極大值分佈的期望值和方差