線性系統理論

線性系統理論是控制科學領域的一門重要的基礎課程。《線性系統理論》以線性系統為研究對象，對線性系統的時域理論進行了全面的論述。主要內容包括系統的數學描述、線性系統的運動分析、線性系統的能控性和能觀測性、傳遞函數矩陣的狀態空間實現、系統運動的穩定性、線性系統的狀態反饋與狀態觀測器等。《線性系統理論》是為本科生“現代控制理論”課程編寫的教材，內容豐富，理論嚴謹，深入淺出地闡述了線性系統的基礎理論、基本方法，並配有豐富的例題和習題，幫助讀者理解《線性系統理論》所闡述的內容。 ^[1] 

目 錄

第1章 系統的數學描述 1

1.1 系統的輸入-輸出描述 1

1.1.1 線性系統 1

1.1.2 非零初始條件與脈衝輸入 4

1.1.3 線性系統的單位脈衝響應 6

1.1.4 線性定常系統的傳遞函數矩陣 9

1.1.5 船舶搖艏運動的數學建模實例11

1.2 線性系統的狀態空間描述 12

1.2.1 輸入-輸出描述的侷限性 12

1.2.2 狀態與狀態空間 13

1.2.3 線性連續時間系統的狀態空間描述 14

1.2.4 狀態方程解的存在和唯一性條件 21

1.2.5 傳遞函數矩陣的狀態參數矩陣表示 21

1.2.6 傳遞函數矩陣Gs(s)的實用計算方法 22

1.3 輸入-輸出描述到狀態空間描述的轉換 24

1.3.1 由微分方程或傳遞函數導出狀態空間描述 24

1.3.2 由方塊圖描述導出狀態空間描述 30

1.4 狀態方程的對角線規範形和約當規範形 31

1.4.1 對角線規範形 32

1.4.2 約當規範形 36

1.5 線性系統在座標變換下的特性 41

1.5.1 座標變換 42

1.5.2 線性系統狀態空間描述在座標變換下的特性 43

1.6 組合系統的狀態空間描述 45

1.6.1 子系統並聯 45

1.6.2 子系統串聯 46

1.6.3 子系統反饋連接 47

習題 48

第2章 線性系統的運動分析 52

2.1 引言 52

2.1.1 運動分析實質 52

2.1.2 零輸入響應和零狀態響應 52

2.2 線性定常系統的運動分析 53

2.2.1 零輸入響應 53

2.2.2 零狀態響應 62

2.2.3 線性定常系統的狀態運動規律 62

2.3 線性定常系統的狀態轉移矩陣 65

2.3.1 狀態轉移矩陣 65

2.3.2 系統狀態運動規律的狀態轉移矩陣表示 67

2.3.3 狀態轉移矩陣的性質 67

2.4 線性時變系統的運動分析 68

2.4.1 線性時變系統的狀態轉移矩陣 68

2.4.2 線性時變系統的運動規律 69

2.4.3 線性時變系統的脈衝響應矩陣 70

2.5 線性連續系統的時間離散化 71

2.5.1 數字控制系統的基本形式 71

2.5.2 離散化的假設條件 72

2.5.3 線性連續時變系統的離散化 72

2.5.4 線性連續定常系統的離散化 73

2.5.5 結論 74

2.6 線性離散系統的運動分析 75

2.6.1 迭代法求解線性離散系統的狀態方程 75

2.6.2 線性離散時間系統的狀態轉移矩陣 76

2.6.3 線性離散時變系統的狀態運動規律 76

2.6.4 線性離散定常系統的狀態運動規律 77

習題 77

第3章 線性系統的能控性和能觀測性 80

3.1 能控性和能觀測性的定義 80

3.1.1 對能控性和能觀測性的直觀討論 80

3.1.2 能控性定義 81

3.1.3 能觀測性定義 82

3.2 線性連續時間系統的能控性判據 82

3.2.1 線性定常系統的能控性判據 82

3.2.2 能控性指數 89

3.2.3 線性時變系統的能控性判據 91

3.3 線性連續時間系統的能觀測性判據 94

3.3.1 線性定常系統的能觀測性判據 95 ^[2] 

3.3.2 能觀測性指數 98

3.3.3 線性時變系統的能觀測性判據 100

3.4 對偶性原理 101

3.4.1 對偶系統 101

3.4.2 線性系統對偶性原理 102

3.5 線性離散時間系統的能控性和能觀測性 103

3.5.1 離散時間系統的能控性和能達性 103

3.5.2 線性離散系統的能控性判據 104

3.5.3 線性離散系統的能觀測性及其判據 105

3.6 單輸入-單輸出系統的能控規範形和能觀測規範形 106

3.6.1 能控規範形 107

3.6.2 能觀測規範形 109

3.7 多輸入-多輸出系統的能控規範形和能觀測規範形 111

3.7.1 搜索線性無關行或列的方案 112

3.7.2 旺納姆能控規範形 114

3.7.3 旺納姆能觀測規範形 117

3.7.4 龍伯格能控規範形 118

3.7.5 龍伯格能觀測規範形 121

3.8 線性系統的結構分解 122

3.8.1 能控性和能觀測性在線性非奇異變換下的特性 122

3.8.2 線性定常系統按能控性的結構分解 124

3.8.3 線性定常系統按能觀測性的結構分解 126

3.8.4 線性定常系統結構的規範分解 128

3.8.5 線性時變系統結構的規範分解 132

習題 132

第4章 傳遞函數矩陣的狀態空間實現 135

4.1 實現和*小實現 135

4.2 傳遞函數向量的實現 142

4.2.1 單輸入-多輸出系統的傳遞函數向量的實現 142

4.2.2 多輸入-單輸出系統的傳遞函數向量的實現 144

4.3 基於矩陣分式描述的實現 145

4.3.1 基於右MFD的控制器形實現 145

4.3.2 基於左MFD的觀測器形實現 152

習題 155

第5章 系統運動的穩定性 157

5.1 外部穩定性和內部穩定性 157

5.1.1 外部穩定性 157

5.1.2 內部穩定性 159

5.1.3 線性定常系統內部穩定性和外部穩定性之間的關係 159

5.2 李雅普諾夫意義下運動穩定性的一些基本概念 160

5.2.1 平衡狀態 160

5.2.2 李雅普諾夫意義下的穩定 161

5.2.3 漸進穩定 163

5.2.4 大範圍漸進穩定 163

5.2.5 不穩定平衡狀態 164

5.3 李雅普諾夫第二方法的主要定理 164

5.3.1 大範圍漸進穩定的判別定理 164

5.3.2 李雅普諾夫意義下穩定的判別定理 166

5.3.3 不穩定的判別定理 167

5.4 李雅普諾夫函數的常用構造方法 167

5.4.1 變量梯度法 167

5.4.2 克拉索夫斯基方法 170

5.5 線性系統的狀態運動穩定性判據 171

5.5.1 線性定常系統狀態運動的穩定性判據 171

5.5.2 線性時變系統平衡狀態的穩定性判據 176

5.6 離散時間系統的狀態運動穩定性判據 177

5.6.1 離散時間系統的李雅普諾夫主穩定性定理 177

5.6.2 線性定常離散時間系統的穩定性判據 178

習題 180

第6章 線性系統的狀態反饋與狀態觀測器 182

6.1 狀態反饋與輸出反饋 182

6.1.1 狀態反饋與輸出反饋的定義 182

6.1.2 狀態反饋和輸出反饋的比較 183

6.2 狀態反饋和輸出反饋對系統能控性與能觀測性的影響 183

6.2.1 對單輸入線性定常系統，狀態反饋不改變系統的能控性 183

6.2.2 對多輸入線性定常系統，狀態反饋不改變系統的能控性 185

6.2.3 狀態反饋對系統能觀測性的影響 186

6.2.4 輸出反饋對系統能控性和能觀測性的影響 186

6.3 單輸入系統的狀態反饋極點配置 187

6.3.1 極點的作用 187

6.3.2 極點可配置條件 188

6.3.3 單輸入系統狀態反饋算法 190

6.4 多輸入系統的狀態反饋極點配置 194

6.4.1 循環矩陣法 195

6.4.2 李雅普諾夫方程法 200

6.4.3 能控規範形法 203

6.5 狀態反饋對傳遞函數矩陣的影響 205

6.5.1 單輸入-單輸出線性定常系統情況 205

6.5.2 多輸入-多輸出線性定常系統情況 208

6.5.3 狀態反饋對能觀測性的影響 209

6.6 狀態不完全能控系統的極點配置問題 210

6.7 輸出反饋的極點配置 212

6.8 狀態反饋動態解耦 213

6.8.1 動態解耦 213

6.8.2 傳遞函數矩陣的兩個特徵量 214

6.8.3 可解耦條件 215

6.8.4 確定解耦控制矩陣對{K，L}的算法 216

6.9 線性二次型*優控制 223

6.9.1 LQ問題 223

6.9.2 有限時間LQ問題的*優解 224

6.9.3 無限時間線性二次型*優控制 229

6.9.4 *優跟蹤問題 233

6.9.5 矩陣黎卡提方程的求解 236

6.10 線性二次型*優控制系統設計實例——二級倒立擺*優控制系統的設計 236

6.10.1 二級倒立擺的數學模型 236

6.10.2 系統能控性及能觀測性的檢驗 237

6.10.3 二級倒立擺*優控制器的設計 238

6.10.4 二級倒立擺系統仿真 239

6.11 線性系統的全維狀態觀測器 241

6.11.1 狀態重構和狀態觀測器 241

6.11.2 狀態重構的可能性 242

6.11.3 開環狀態觀測器 243

6.11.4 閉環狀態觀測器 243

6.12 線性系統的降維狀態觀測器 248

6.13 基於觀測器的狀態反饋系統 251

6.13.1 基於觀測器的狀態反饋系統的狀態空間描述 251

6.13.2 基於觀測器的狀態反饋系統的特性 252

習題 254

附錄1 船舶操縱搖艏運動K-T方程推導 259

附錄2 Z形實驗計算K、T參數 265

參考文獻 267 ^[2]