維納過程

維納過程的地位在純數學中與在應用數學中同等重要。在純數學中，維納過程導致了對連續鞅理論的研究，是刻畫一系列重要的複雜過程的基本工具。它在隨機分析、擴散過程和位勢論領域的研究中是不可或缺的。在應用數學中，維納過程可以描述高斯白噪聲的積分形式。在電子工程中，維納過程是建立噪音的數學模型的重要部分。控制論中，維納過程可以用來表示不可知因素。

維納過程和物理學中的布朗運動有密切關係。布朗運動是指懸浮在液體中的花粉微小顆粒所進行的無休止隨機運動。維納運動也可以描述由福克-普朗克方程和郎之萬方程確定的其他隨機運動。維納過程構成了量子力學的嚴謹路徑積分表述的基礎（根據費曼-卡茨公式，薛定諤方程的解可以用維納過程表示）。金融數學中 ^[1]  ，維納過程可以用於描述期權定價模型如布萊克-斯科爾斯模型。

若一個隨機過程{X(t),t>=0}滿足：

⑴ X(t)是獨立增量過程；

⑵ 任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,σ^2*t），即X(s+t)-X(s）是期望為0，方差為σ^2*t的正態分佈；

⑶ X(t)關於t是連續函數。

則稱{X(t),t>=0}是維納過程（Wiener process）或布朗運動。

維納過程又稱布朗運動，它具有如下特點：

⑴過程的當前值就是做出其未來預測中所需的全部信息。

⑵維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區間上變化的概率分佈獨立於其在任一的其他時間區間上變化的概率。

⑶它在任何有限時間上的變化服從正態分佈，其方差隨時間區間的長度呈線性增加。

給定二階矩過程{W(t),t>=0},如果它滿足

1、具有獨立增量

2、對任意的t>s>=0，增量

W(t)-W(s)~N(0,σ^2(t-s）），且s>0

3、W(0)=0

則稱此過程為維納過程.

維納過程是布朗運動的數學模型. 英國植物學家布朗在顯微鏡下，觀察漂浮在平靜的液麪上的微小粒子，發現它們不斷地進行着雜亂無章的運動，這種現象後來稱為布朗運動. 以W(t）表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫座標（同樣也可以討論縱座標），且設W(0)=0，根據愛因斯坦1905年提出的理論，微粒的這種運動是由於受到大量隨機的相互獨立的分子的碰撞的結果. 於是，粒子在時段（s,t]上的位移可以看作是許多微小位移的代數和. 則W(t)-W(s）服從正態分佈。

維納過程增量的分佈只與時間差有關，所以它是齊次的獨立增量過程. 它也是正態過程. 其分佈完全由它的均值函數與自協方差函數所確定. 維納過程不只是布朗運動的數學模型，電子元件在恆温下的熱噪聲也可歸結為維納過程。

期貨定價模型BS模型中，期貨價格及其所依賴的標的資產價格都受同一種不確定因素的影響，兩者也都是遵循相同的維納過程。

對任意的正實數，一維維納過程在時刻是一個隨機變量，它的概率密度函數是：

這是因為按照維納過程的定義，當

時，可以推出

的分佈：

它的數學期望是零：

它的方差是：t：

在維納過程的獨立增量定義中，令

，

，

，那麼

和

是相互獨立的隨機變量，並且

所以兩個不同時刻

與

協方差和相關性函數相關係數是：

，

維納過程中的即時最大值

與的

聯合概率分佈是：

而即時最大值的分佈

是對

的積分：

即時最大值的數學期望是：

由於維納過程上下對稱，即時最小值顯然是即時最大值的相反數。

將一個維納過程不斷按比例展開，它的一部分就會呈現另一個維納過程的樣子

維納過程具有馬爾可夫性質，也就是説，在任意一點之後的走勢僅僅和這一點的取值相關，而與之前的取值無關。因此維納過程具有時間平移不變性：隨機過程也是一個維納過程。不僅如此，維納過程還滿足強馬爾可夫性質：對任意的有限停時，隨機變量獨立於濾波。

維納過程的強馬爾可夫性質，説明即便給定的時間不是定時而是一個停時，維納過程在停時之後的走勢仍然與之前無關。所以，將停時之後的維納過程上下反轉，仍然會是一個維納過程。用數學語言來説，就是：給定一個停時之後，隨機變量也是一個維納過程。這個性質也稱為維納過程的反射原理。