箱形圖

箱形圖（英文：Box plot），又稱為盒須圖、盒式圖、盒狀圖或箱線圖，是一種用作顯示一組數據分散情況資料的統計圖。因型狀如箱子而得名。在各種領域也經常被使用，常見於品質管理。不過作法相對較繁瑣。

箱形圖於1977年由美國著名統計學家約翰·圖基（John Tukey）發明。它能顯示出一組數據的最大值、最小值、中位數、及上下四分位數。

"盒式圖"或叫"盒須圖""箱形圖"boxplot（也稱箱須圖(Box-whiskerPlot）須圖又稱為箱形圖，其繪製須使用常用的統計量，能提供有關數據位置和分散情況的關鍵信息，尤其在比較不同的母體數據時更可表現其差異。

如圖1所示，標示了圖中每條線表示的含義，其中應用到了分位值（數）的概念。

主要包含六個數據節點，將一組數據從大到小排列，分別計算出他的上邊緣，上四分位數Q₃，中位數，下四分位數Q₁，下邊緣，還有一個異常值。

箱形圖提供了一種只用5個點對數據集做簡單總結的方式。這5個點包括中點、Q₁、Q₃、分部狀態的高位和低位。箱形圖很形象的分為中心、延伸以及分佈狀態的全部範圍。

箱形圖中最重要的是對相關統計點的計算,相關統計點都可以通過百分位計算方法進行實現。

箱形圖的繪製步驟： ^[2] 

1、畫數軸，度量單位大小和數據批的單位一致，起點比最小值稍小，長度比該數據批的全距稍長。

2、畫一個矩形盒，兩端邊的位置分別對應數據批的上下四分位數（Q₃和Q₁）。在矩形盒內部中位數（X_m）位置畫一條線段為中位線。

3、在Q₃+1.5IQR和Q₁－1.5IQR處畫兩條與中位線一樣的線段，這兩條線段為異常值截斷點，稱其為內限；在Q₃+3IQR和Q₁－3IQR處畫兩條線段，稱其為外限。處於內限以外位置的點表示的數據都是異常值，其中在內限與外限之間的異常值為温和的異常值（mild outliers），在外限以外的為極端的異常值(extreme outliers)。四分位距IQR=Q₃-Q₁。.

4、從矩形盒兩端邊向外各畫一條線段直到不是異常值的最遠點，表示該批數據正常值的分佈區間。

5、用“〇”標出温和的異常值，用“*”標出極端的異常值。相同值的數據點並列標出在同一數據線位置上，不同值的數據點標在不同數據線位置上。至此一批數據的箱形圖便繪出了。統計軟件繪製的箱形圖一般沒有標出內限和外限。

一批數據中的異常值值得關注，忽視異常值的存在是十分危險的，不加剔除地把異常值包括進數據的計算分析過程中，對結果會帶來不良影響；重視異常值的出現，分析其產生的原因，常常成為發現問題進而改進決策的契機。箱形圖為我們提供了識別異常值的一個標準：異常值被定義為小於Q₁－1.5IQR或大於Q₃+1.5IQR的值。雖然這種標準有點任意性，但它來源於經驗判斷，經驗表明它在處理需要特別注意的數據方面表現不錯。這與識別異常值的經典方法有些不同。眾所周知，基於正態分佈的3σ法則或z分數方法是以假定數據服從正態分佈為前提的，但實際數據往往並不嚴格服從正態分佈。它們判斷異常值的標準是以計算數據批的均值和標準差為基礎的，而均值和標準差的耐抗性極小，異常值本身會對它們產生較大影響，這樣產生的異常值個數不會多於總數0.7%。顯然，應用這種方法於非正態分佈數據中判斷異常值，其有效性是有限的。箱形圖的繪製依靠實際數據，不需要事先假定數據服從特定的分佈形式，沒有對數據作任何限制性要求，它只是真實直觀地表現數據形狀的本來面貌；另一方面，箱形圖判斷異常值的標準以四分位數和四分位距為基礎，四分位數具有一定的耐抗性，多達25%的數據可以變得任意遠而不會很大地擾動四分位數，所以異常值不能對這個標準施加影響，箱形圖識別異常值的結果比較客觀。由此可見，箱形圖在識別異常值方面有一定的優越性。 ^[3] 

比較標準正態分佈、不同自由度的t分佈和非對稱分佈數據的箱形圖的特徵，可以發現：對於標準正態分佈的大樣本，只有 0.7%的值是異常值,中位數位於上下四分位數的中央,箱形圖的方盒關於中位線對稱。選取不同自由度的t分佈的大樣本，代表對稱重尾分佈，當t分佈的自由度越小，尾部越重，就有越大的概率觀察到異常值。以卡方分佈作為非對稱分佈的例子進行分析，發現當卡方分佈的自由度越小，異常值出現於一側的概率越大，中位數也越偏離上下四分位數的中心位置，分佈偏態性越強。異常值集中在較大值一側，則分佈呈現右偏態；；異常值集中在較小值一側，則分佈呈現左偏態。下表列出了幾種分佈的樣本數據箱形圖的特徵（樣本數據由SAS的隨機數生成函數自動生成），驗證了上述規律。這個規律揭示了數據批分佈偏態和尾重的部分信息，儘管它們不能給出偏態和尾重程度的精確度量，但可作為我們粗略估計的依據。

同一數軸上，幾批數據的箱形圖並行排列，幾批數據的中位數、尾長、異常值、分佈區間等形狀信息便一目瞭然。在一批數據中，哪幾個數據點出類拔萃，哪些數據點表現不及一般，這些數據點放在同類其它羣體中處於什麼位置，可以通過比較各箱形圖的異常值看出。各批數據的四分位距大小，正常值的分佈是集中還是分散，觀察各方盒和線段的長短便可明瞭。每批數據分佈的偏態如何，分析中位線和異常值的位置也可估計出來。還有一些箱形圖的變種，使數據批間的比較更加直觀明白。例如有一種可變寬度的箱形圖，使箱的寬度正比於批量的平方根，從而使批量大的數據批有面積大的箱，面積大的箱有適當的視覺效果。如果對同類羣體的幾批數據的箱形圖進行比較，分析評價，便是常模參照解釋方法的可視圖示；如果把受測者數據批的箱形圖與外在效標數據批的箱形圖比較分析，便是效標參照解釋的可視圖示。箱形圖結合這些分析方法用於質量管理、人事測評、探索性數據分析等統計分析活動中去，有助於分析過程的簡便快捷，其作用顯而易見。

以圖2所示的箱形圖具體例子：

這組數據顯示出：

在區間 Q3+1.5ΔQ, Q1-1.5ΔQ 之外的值被視為應忽略(farout)。

最大值與最小值產生於這個區間。區間外的值被視為outlier顯示在圖上.