示性函數

依事件出現與否應取1和0的函數。設A是—事件，則

稱做“事件A的示性函數”。事件示性函數是一隨機變量，服從0-1分佈。必然事件

的示性函數恆為1，不可能事件的示性函數恆為0。

事件的關係和運算與示性函數的關係和運算一一對應。如

若

，則

；若

，則

。此外，

藉助示性函數，可以將事件的研究納入隨機變量的研究 ^[1]  。

集合的特徵函數(characteristic function of a set)亦稱集合的示性函數，與集合一一對應並反映其組成、運算和可測性等特性的簡單函數。可看做集合的函數表示法，該集合的元素由相應特徵函數取值1的點所確定。設X是全集，對任意集合

，把函數

稱為集合A的特徵函數或示性函數。特徵函數與相應集合之間有如下關係：

1.

；

2.

。

3.

。

4.對一列集

，有

5.

為(L)可測函數

A為(L)可測集 ^[2]  。

為了描述一個隨機過程

，必須知道它的有限維分佈函數族。然而在計算較高維數的分佈函數時，往往在計算上帶來很大的困難。因此，在實際應用中，通常是利用隨機過程的幾個主要特徵來描述。我們知道，在概率論中為了描述隨機變量，通常是用均值、方差和相關係數等示性數來描述。對於隨機過程，均值、方差及相關係數只不過是時間

的函數而已。因此，我們通常稱之為均值函數、方差函數及相關函數，有時把這些函數叫做隨機過程的示性函數 ^[3]  。

定義1設

為隨機過程，如果積分

存在，則稱

為該隨機過程的均值函數，有時簡記為

。其中

和

分別為該隨機過程的一維分佈函數和一維密度函數。

定義2 設

為隨機過程，如果積分

存在，稱

為該隨機過程的方差函數，有時簡記為

。特別地，稱

為隨機過程

的標準偏差函數。

定義3設

為隨機過程，如果積分

存在，則稱

為該隨機過程的原點自相關函數。特別地，稱

為二階原點矩函數。完全類似，稱

為隨機過程

和

的原點互相關函數。

稱積分

為隨機過稱

的中心自相關函數，完全類似，稱

為隨機過程

和

的中心互相關函數。

由(2)式及(3)式，可知

比較(1)式和(3)式，還有 ^[3]