矩陣變換

容易看出，這三種初等變換都不會改變一個方陣A的行列式的非零性，所以如果一個矩陣是方陣，我們可以通過看初等變換後的矩陣是否可逆，來判斷原矩陣是否可逆。可以看出，矩陣的3種初等變換都是可逆的，且其逆變換也是同一種類型的初等變換。

若矩陣A經過有限次的初等行變換變為矩陣B，則矩陣A與矩陣B行等價；若矩陣A經過有限次的初等列變換變為矩陣B，則矩陣A與矩陣B列等價；若矩陣A經過有限次的初等變換變為矩陣B，則矩陣A與矩陣B等價。

（1）反身性 A~A;

（2）對稱性 若A~B，則B~A；

（3）傳遞性 若A~B，B~C，則A~C

1、設A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，其結果等價於在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，其結果等價於在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣。反之亦然。

2、方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1，P2，......Pn，使得A=P1P2...Pn.

3、m×n矩陣A與B等價當且僅當存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q使得B=PAQ。

矩陣的分塊是處理階數較高矩陣時常用的方法,用一些貫穿於矩陣的縱線和橫線將矩陣分成若干子塊，使得階數較高的矩陣化為階數較低的分塊矩陣，在運算中,我們有時把這些子塊當作數一樣來處理,從而簡化了表示，便於計算。 分塊矩陣有相應的加法、乘法、數乘、轉置等運算的定義，也可進行初等變換。 分塊矩陣的初等變換是線性代數中重要而基本的運算，它在研究矩陣的行列式、特徵值、秩等各種性質及求矩陣的逆、解線性代數方程組中有着廣泛的應用 ^[1]  。

已知矩陣A 相似於矩陣B，藉助初等變換的方法，可以構造性的獲得演化矩陣P。即找到具體的可逆矩陣P，使B = P^(-1)AP，由B =P^(-1)AP，可得AP =PB，將P 的元素設為未知量，由矩陣的乘法及兩矩陣相等可得一齊次線性方程組，由方程組的一個非零解即可得到一個要求的演化矩陣P ^[2]  。

當然，這只是矩陣初等變換的一個小小的應用，它在線性代數中的更重要的應用主要體現於以下幾點：求矩陣的秩，求向量組的極大無關組、秩，求解線性方程組，求多項式的最大公因式等。