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盒中氣體

鎖定
在量子力學裏，盒中氣體是指在一個盒子內，一羣不會互相作用的粒子。盒子內的位勢為零，盒子外的位勢為無限大。這些粒子永遠地束縛於盒子內，無法逃出。靠著粒子與粒子之間數不盡的瞬時碰撞，盒中氣體得以保持熱力平衡狀況。盒中氣體這個簡單的理論模型可以用來描述經典理想氣體，也可以用來描述各種各樣的量子理想氣體，像費米氣體、玻色氣體、黑體輻射、等等。 [1] 
中文名
盒中氣體
外文名
Gas in the box
定    義
不會互相作用的粒子
相關術語
費米氣體、玻色氣體
學    科
量子力學
領    域
量子力學

目錄

  1. 1 量子數極大近似
  2. 2 能量分佈函數
  1. 3 正質量粒子
  2. 4 零質量粒子
  1. 5 範例
  2. 6 相關條目

盒中氣體量子數極大近似

對於正質量或零質量的盒中粒子，其量子態是以一組量子數來枚舉的。在三維空間裏，這一組量子數是正整數
；其中，x,y,z是三維空間的座標軸標籤。量子態的波函數的波數矢量
是 [2] 
其中，L是盒子的邊長。
粒子的每一個可能的量子態，可以想像為處於一個三維k-空間的一點，座標是
。每一點離最近鄰點的距離是
。在這三維k-空間內，每一個量子態佔據了
的k-空間。從k-空間的原點到k的距離是
假設f是每種粒子內涵的自由度。當粒子遇到碰撞時，f是粒子可以被改變的自由度。那麼，每一組量子數設定了f個量子態。這f個量子態佔據了
的k-空間。例如，一個自旋為1/2的粒子，有兩個自旋態，自由度為f=2。
假定系統的量子數極大，則可以將量子數視為連續值。那麼，波數小於或等於k的量子態的數量大約為
其中，V=L3是盒子容積。
這只是f乘以一個半徑為k的圓球容積的八分之一的乘積。請注意這裏只有用到
為正值的圓球部分，k-圓球的八分之一。所以，波數在k與k+dk之間的量子態的數量大約為
注意到在使用這連續近似的同時，我們也失去了計算低能量量子態特性的能力，包括基態n=1。對於大多數的案例，這不是問題。可是，當思考像玻色-愛因斯坦凝聚這類的問題時，由於大部分的氣體處於基態或其鄰近量子態，低能量量子態的影響變得很重要。
不使用連續近似，能量為
的粒子的數量
為
其中，
是狀態
的簡併度，
是統計方程：
*麥克斯韋-玻茲曼統計：
*玻色-愛因斯坦統計：
*費米-狄拉克統計：
其中，
是玻茲曼常數，T是温度，
是化學勢。
使用連續近似，波數在k與 k+dk之間的粒子的數量dN為

盒中氣體能量分佈函數

有了前面幾段導引出來的結果，我們現在可以開始計算盒子氣體的某些分佈函數。
粒子的A值在A與A+dA之間的概率是
其中，PA是變量A的分佈函數，NT是總粒子數。
這表達式的積分是總概率，等於1:
按照這些公式，波數的分佈函數可以表達為
能量E的分佈函數是
。(2)
計算
以前，必須先知道波數與能量的關係方程。

盒中氣體正質量粒子

對於正質量粒子，
其中，
是約化普朗克常數，m是質量。
將E與dE的公式代入公式(2)，再稍加運算，可得到
；(3)
其中，
是正質量粒子的熱波長或熱德布羅意波長（thermal de Broglie wavelength）。
熱波長是一個很重要的物理量。當熱波長接近粒子與粒子之間距離
時候，量子效應開始成為主導機制，氣體不能被視為麥克斯韋-玻茲曼氣體。

盒中氣體零質量粒子

對於零質量粒子，
其中，c是光速。將 E與dE的公式代入公式(2)，再稍加運算，可得到
；(4)
其中，
是零質量粒子的熱波長。

盒中氣體範例

正質量費米-狄拉克粒子
金屬裏的電子可以被視為正質量費米-狄拉克粒子。對於這案例，
積分公式(3)，粒子的能量在E與E+dE之間的概率，求算總概率：
其中，
是多重對數（polylogarithm）。
所以，總粒子數為

盒中氣體相關條目

參考資料
  • 1.    Huang, Kerson. Statistical Mechanics. New York: John Wiley & Sons. 1967.
  • 2.    Landau, L. D.; E. M. Lifshitz. Statistical Physics 3rd Edition Part 1. Oxford: Butterworth-Heinemann. 1996.