玻爾茲曼方程

玻爾茲曼方程或玻爾茲曼輸運方程（Boltzmann transport equation，BTE）是一個描述非熱力學平衡狀態的熱力學系統統計行為的偏微分方程，由路德維希·玻爾茲曼於1872年提出。關於此方程描述的系統，一個經典的例子是空間中一具有温度梯度的流體。構成此流體的微粒通過隨機而具有偏向性的流動使得熱量從較熱的區域流向較冷的區域。在現今的論文中，“玻爾茲曼方程“這個術語常被用於更一般的意義上，它可以是任何涉及描述熱力學系統中宏觀量（如能量，電荷或粒子數）的變化的動力學方程。

玻爾茲曼方程並不對流體中每個粒子的位置和動量做統計分析，而只考慮一羣同時佔據着空間中任意小區域，且以位置矢量末端為中心的粒子。這羣粒子的動量在一段極短的時間內，相對於動量矢量只有幾乎同樣小的變化（因此這些粒子在動量空間中也佔據着任意小區域）。

玻爾茲曼方程可用於確定物理量是如何變化的，例如流體在輸運過程中的熱能和動量。我們還可以由此推導出其他的流體特徵性質，例如粘度，導熱性，以及導電率（將材料中的載流子視為氣體）。詳見對流擴散方程。

玻爾茲曼方程是一個非線性積微分方程。方程中的未知函數是一個包含了粒子空間位置和動量的六維概率密度函數。此方程的解的存在性和唯一性問題仍然沒有完全解決，但最近發表的一些結果還是能夠讓人看到解決此問題的希望。 ^[1] 

直到2010年，玻爾茲曼方程的準確解才在數學上被證明是良好（well-behaved）的。這意味着，如果對服從玻爾茲曼方程的系統施加一個微擾，此係統最終將回到平衡狀態，而不是發散到無窮，或表現出其他的行為。然而，這種存在性證明是無助於我們在現實問題中求解該等式的。事實上，這個結論只告訴我們某種特定條件下的解是否存在，而不是如何找到他們。在實踐中，數值計算方法被用於尋找各種形式的波爾茲曼方程的近似解，應用範圍從稀薄氣流中的高超音速空氣動力學，到等離子體的流動中都可以見到。 ^[1]