獨立性檢驗

獨立性檢驗是統計學的一種檢驗方式。與適合性檢驗同屬於X2檢驗（即卡方檢驗，英文名：chi square test）它是根據次數資料判斷兩類因子彼此相關或相互獨立的假設檢驗。

假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分另為{x1, x2}和{y1, y2}，其樣本頻數列聯表為：

若要推斷的論述為H1：“X與Y有關係”，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關係，並且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。具體的做法是，由表中的數據算出隨機變量K^2的值（即K的平方）

K² = n (ad - bc) ² / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，　其中n=a+b+c+d為樣本容量

K²的值越大，説明“X與Y有關係”成立的可能性越大。

當表中數據a，b，c，d都不小於5時，可以查閲下表來確定結論“X與Y有關係”的可信程度：

例如，當“X與Y有關係”的K²變量的值為6.109，根據表格，因為5.024≤6.109<6.635，所以“X與Y有關係”成立的概率為1-0.025=0.975，即97.5%。 ^[1] 

其不同“值”表示相應對象所屬的不同類別的變量，分類變量的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示相應對象所屬的類別，如性別變量只取男、女兩個“值”，某商品的等級變量只取一級、二級、三級三個“值”，等等。分類變量的取“值”有時可用數字來表示，但這時的數字除了類別以外，沒有其他的含義。如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”。 ^[1] 

分類變量的統計彙總表（頻數表）在獨立性檢驗中，一般只研究兩個分類變量，且每個分類變量只有兩個可取的值；這時得到的列聯表稱為2×2列聯表，如後面的案例中的關於患肺癌與否與吸煙與否的列聯表。 ^[1] 

獨立性檢驗的學習目標：瞭解獨立性檢驗的基本思想；

獨立性檢驗的學習重點：會對兩個分類變量進行獨立性檢驗。

即為什麼不能只憑列聯表中的數據和由其繪出的圖形下結論，由列聯表可以粗略地估計出兩個變量（兩類對象）是否有關(即粗略地進行獨立性檢驗)，但2×2列聯表中的數據是樣本數據，它只是總體的代表，具有隨機性，故需要用獨立性檢驗的方法確認所得結論在多大程度上適用於總體。關於這一點，在後面的案例中還要進一步説明。 ^[2] 

獨立性檢驗是一種假設檢驗（先假設，再推翻假設），它的原理及步驟與反證法類似。

要證明結論A想説明假設H1（兩個分類變量，即兩類對象有關）成立。在A不成立的前提下進行推理，在H1不成立，即H0（兩類對象無關，即相互獨立）成立的條件下進行推理，推出矛盾，意味着結論A成立，推出小概率事件（概率不超過α，α一般為0.001,0.01,0.05或0.1）發生，意味着H1成立的可能性很大（可能性為1-α），沒有找到矛盾，意味着不能確定A成立，沒有推出小概率事件發生，意味着不能確定H1成立。 ^[2] 

案例 某醫療機構為了瞭解患肺癌與吸煙是否有關，進行了一次抽樣調查，共調查了9965個成年人，其中吸煙者2148人，不吸煙者7817人，調查結果是：吸煙的2148人中49人患肺癌，2099人不患肺癌；不吸煙的7817人中42人患肺癌，7775人不患肺癌。

根據這些數據能否斷定：患肺癌與吸煙有關？

【方法一】由樣本數據，可得如下列聯表和條形圖：

在不吸煙者中，患肺癌的比重是0.54%；在吸煙者中，患肺癌的比重是 2.28% 。

説明吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在較大的差異，吸煙者患肺癌的可能性大。可初步判斷：患肺癌與吸煙有關.

【方法二】以上通過對數據和圖表的分析，得到的結論是：患肺癌與吸煙有關.

但這個結論在多大程度上適用於總體呢？要回答這個問題，就必須藉助於獨立性檢驗的方法來分析.

獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關（是否相互獨立）的一種統計方法：

用字母表示題設數據（使之更有一般性），可得如下2×2列聯表

想説明假設H1“患肺癌與吸煙有關”成立.

假設H0:H1不成立，即患肺癌與吸煙沒有關係。

在H0成立的條件下，吸煙者中不患肺癌的的比例應該與不吸煙者中相應的比例差不多，即a/(a+b)≈c/(c+d)； a(c+d)≈c(a+b)； ad-bc≈0。

因此|ad-bc|越小，則説明患肺癌與吸煙之間的關係越弱。

構造統計量

作為檢驗在多大程度上可認為“兩個分類變量有關係”的標準。

若H0成立，則k2應該很小。實際上，統計學家們已經估算出如下概率：

這就是獨立性檢驗的臨界值表。

回到本案例，把題設數據代入公式，可得

在H0成立的情況下，P(k2≥10.828)<0.001，

即k2的值大於10.828的概率非常小（只有0.1%）.

但這個小概率事件竟然發生了。

因此,我們有99.9%以上的把握認為“患肺癌與吸煙有關”。

【總結】獨立性檢驗的解題步驟如下：

第一步　提出假設H0：患肺癌與吸煙沒有關係。（目標結論H1“患肺癌與吸煙有關係”的反面）

第二步　計算獨立性檢驗的標準，即統計量k2=n(ad-bc)^2/{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}的值。（它越小，原假設H0成立的可能性越大；它越大，目標結論H1成立的可能性越大。）

第三步　由獨立性檢驗的臨界值表得出結論及其可信度（即在多大程度上適用）。 ^[2]