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牛頓迭代法
鎖定
- 中文名
- 牛頓迭代法
- 外文名
- Newton's method
- 別 名
- 牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法
- 提出時間
- 17世紀
牛頓迭代法產生背景
多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可解，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數
的泰勒級數的前面幾項來尋找方程
的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程
的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。
牛頓迭代法牛頓迭代公式
設
是
的根，選取
作為
的初始近似值，過點
做曲線
的切線
，
，則
與
軸交點的橫座標
，稱
為
的一次近似值。過點
做曲線
的切線，並求該切線與x軸交點的橫座標
，稱
為r的二次近似值。重複以上過程，得
的近似值序列，其中，
稱為
的
次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。
用牛頓迭代法解非線性方程，是把非線性方程
線性化的一種近似方法。把
在點
的某鄰域內展開成泰勒級數
，取其線性部分（即泰勒展開的前兩項），並令其等於0，即
，以此作為非線性方程
的近似方程，若
，則其解為
， 這樣，得到牛頓迭代法的一個迭代關係式：
。
已經證明，如果是連續的，並且待求的零點是孤立的，那麼在零點周圍存在一個區域，只要初始值位於這個鄰近區域內，那麼牛頓法必定收斂。 並且，如果不為0, 那麼牛頓法將具有平方收斂的性能. 粗略的説，這意味着每迭代一次，牛頓法結果的有效數字將增加一倍。
迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重複性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）重複執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。
利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
一、確定迭代變量
在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個可直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。
二、建立迭代關係式
所謂迭代關係式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式（或關係）。迭代關係式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。
三、對迭代過程進行控制
在什麼時候結束迭代過程是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析得出可用來結束迭代過程的條件。
牛頓迭代法MA代碼
牛頓迭代法定義函數
function y=f(x)
y=f(x)；%函數f(x)的表達式
end
function z=h(x)
z=h(x)；%函數h(x)的表達式，函數h(x)是函數f(x)的一階導數
end
牛頓迭代法主程序
x=X;%迭代初值
i=0;%迭代次數計算
while i
x0=X-f(X)/h(X);%牛頓迭代格式
if abs(x0-X)＞0.01；%收斂判斷
X=x0;
else break
end
i=i+1;
end
fprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'X='，X，'i='，i) %輸出結果
牛頓迭代法C++代碼
求一元3次方程3個解的程序：
牛頓迭代法Py代碼
Python代碼以實例展示求解方程
的根。
牛頓迭代法Java代碼
public static double sqrt(double c) {
if (c < 0) {
return Double.NaN;
}
double err = 1e-15;
double t = c;
while (Math.abs(t - c/t) > err * t) {
t = (c/t + t) / 2.0;
}
return t;
}牛頓迭代法Fo代碼
program newton
牛頓迭代法其他迭代算法
牛頓迭代法歐幾里德算法
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b。假設d是a,b的一個公約數，則有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公約數
同理，假設d 是(b,a mod b)的公約數，則 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公約數。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
從上面的程序我們可以看到a，b是迭代變量，迭代關係是temp = a % b；根據迭代關係我們可以由舊值推出新值，然後循環執a = b; b = temp；直到迭代過程結束（餘數為0）。在這裏a好比那個膽小鬼，總是從b手中接過位置，而b則是那個努力向前衝的先鋒。
牛頓迭代法斐波那契數列
還有一個很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）數列。斐波那契數列為：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當n＞2時）。
在n＞2時，fib(n)總可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由舊值遞推出新值，這是一個典型的迭代關係，所以我們可以考慮迭代算法。
