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牛頓-萊布尼茨公式
鎖定
- 中文名
- 牛頓-萊布尼茨公式
- 外文名
- Newton-Leibniz formula
- 分 類
- 數學
- 別 名
- 微積分基本定理
- 提 出
- 牛頓 萊布尼茨
- 提出時間
- 1677年
牛頓-萊布尼茨公式定理定義
牛頓-萊布尼茨公式定義
如果函數
在區間
上連續,並且存在原函數
,
則
牛頓-萊布尼茨公式弱化條件
如果函數
區間
上有定義,並且滿足以下條件:
(1)在區間
上可積;
(2)在區間
上存在原函數
;
則
牛頓-萊布尼茨公式公式推導
牛頓-萊布尼茨公式推導一
定義一個變上限積分函數
,讓函數
獲得增量
,則對應的函數增量
根據積分中值定理可得,
所以
因為
所以
即
牛頓-萊布尼茨公式推導二
因為函數
在區間
上可積,任取區間
的分割
在區間
上任取一點
,則有
其次,對於分割
,有
牛頓-萊布尼茨公式定理推廣
牛頓-萊布尼茨公式二重積分形式
設函數
在矩形區域
上連續,如果存在一個二元函數
,使得
牛頓-萊布尼茨公式曲線積分形式
若存在一個二元函數
,使得
在區域D中任意取兩個點
,則對連接
的任意一條光滑曲線L,
都有
牛頓-萊布尼茨公式發展簡史
德國數學家萊布尼茨在研究微分三角形時發現曲線的面積依賴於無限小區間上的縱座標值和,1677年,萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理:給定一個曲線,其縱座標為y,如果存在一條曲線z,使得dz/dx=y,則曲線y下的面積∫ydx=∫dz=z。
[6]
牛頓-萊布尼茨公式定理意義
牛頓-萊布尼茨公式的發現,使人們找到了解決曲線的長度,曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算,只要知道被積函數的原函數,總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。
牛頓-萊布尼茨公式是積分學理論的主幹,利用牛頓一萊布尼茨公式可以證明定積分換元公式,積分第一中值定理和積分型餘項的泰勒公式。牛頓-萊布尼茨公式還可以推廣到二重積分與曲線積分,從一維推廣到多維。
[8]
牛頓-萊布尼茨公式公式應用
牛頓-萊布尼茨公式促進了其他數學分支的發展,該公式在微分方程,傅里葉變換,概率論,複變函數等數學分支中都有體現。
- 參考資料
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- 1. 同濟大學數學系.高等數學(第六版)上冊:高等教育出版社,2007年:239頁
- 2. I.B.科恩,葛顯良(譯).牛頓傳:科學出版社,1989年
- 3. 伍勝健.數學分析(第二冊):北京大學出版社,2010年
- 4. 李信明.牛頓——萊布尼茲公式的推廣.濰坊學院學報,2001,1(2);23-24
- 5. 伊薩克·巴羅 .中國科普網[引用日期2015-10-30]
- 6. (美)B.波耶著;上海師範大學數學系翻譯組譯.微積分概念史 對導數與積分的歷史性的評論:上海人民出版社,1979,09
- 7. 胡振媛.對“微積分基本定理”的認識和理解.成都教育學院學報,2000,14(3);23-24
- 8. 賽鬧爾再.試論牛頓--萊布尼茨公式[J].才智,2013,(32):34-34.
- 9. 胡義鋒.定積分在壩體填築計量中的應用[J].人民長江,2003,34(3):35-36.DOI:10.3969/j.issn.1001-4179.2003.03.016.