無限小數

計數單位：一(個)、十、百、千、萬……都叫做計數單位。其中“一”是計數的基本單位。

十進制計數法：10個一是十，10個十是百……10個一百億是一千億，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十。這種計數方法叫做十進制計數法。

在測量物體時，往往會得到不是整數的數。於是古人就發明了小數來補充整數。小數是十進分數的一種特殊表現形式。小數中的圓點叫做小數點，它是一個小數的整數部分和小數部分的分界線，小數點左邊的部分是整數部分，小數點右邊的部分則是小數部分。整數部分為零的小數叫做純小數，而整數部分不是零的小數叫做帶小數。例如：0.3是純小數，3.1則是帶小數。

小數的基本性質是：在小數的末尾添上零或去掉零，小數的大小不變。

實數是由有理數和無理數組成的，整數和分數統稱有理數，它們是有限小數和無限循環小數，而把無限不循環小數叫做無理數。

實數和數軸上的點是一一對應的。也就是説，實數是可以表現任意一條線段的長度，並且同一條線段只有一個長度。 ^[1] 

小數可以分為有限小數和無限小數兩類，而無限小數又分無限循環小數與無限不循環小數兩類。

從小數點後某一位開始不斷地出重複現前一個或一節數碼的十進制無限小數。如2.1666…、35.232323…等，被重複的一個或一節數碼稱為循環節。循環小數的縮寫法是將第一個循環節以後的數碼全部略去，而在保留的循環節首末兩位上方各添一個小點。例如，2.166…縮寫為

（讀作“二點一六，六循環”）、0.34103103…103…縮寫為

（讀作“零點三四一零三，一零三循環”）。在數的分類中，無限循環小數屬於有理數。

有些小數雖然也是無限的但不循環。如

值、

、2.12459537621……，這樣的小數就被稱為無理數。無理數不像循環小數每個數字是重複的，但也屬於無限小數。 ^[1] 

同整數一樣，小數的計數單位也按照一定的順序排列起來，它們所佔的位置叫做小數的數位。數位順序為十分位、百分位、千分位、萬分位、十萬分位、百萬分位……。

小數的大小比較：先看整數部分，整數部分較大的，這個數就大；整數部分相同就看十分位，十分位較大的，這個數就大；十分位相同就看百分位，百分位較大的，這個數就大。以此類推。

把小數點分別向右移動一位、二位、三位……，小數的值就分別相應擴大到原數的10倍、100倍、1000倍……。把小數點分別向左移動一位、二位、三位……，小數的值就分別相應縮小到原數的十分之一、 百分之一、 千分之一……。例如，要把7.4擴大到原數的10倍，只需將7.4的小數點向右移動一位，即74；若要把3.08縮小到原數的百分之一，只需將3.08的小數點向左移動2位，即0.0308（注意，當小數的位數不夠時，需在前面加上相應個“0”）。 ^[2] 

能寫作兩個整數的比的數叫做有理數。整數和通常所説的分數都是有理數。有理數可以劃分為正有理數、0和負有理數。如3，-98.11，5.72727272……，7/22等，都是有理數。在數的十進制小數表示系統中，有理數就是可表示為有限小數或無限循環小數的數。這一定義在其他進位制下（如二進制）也適用。

所有分數都可以表示成小數，小數中除無限不循環小數（無理數）外，都可以表示成分數。

一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2和5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數，可化成無限小數。 ^[3] 

例1：將下列各分數化為小數。

解：已知所有分數都可以表示成小數。上述分數均為最簡分數，一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數，否則為無限小數。結果如下。

例2：判別下面各小數，能否化為分數。

解：已知小數中除無限不循環小數（無理數）外，都可以表示成分數。由此可知

不能化為分數，0.2、

、0.51均可化為分數。即

。 ^[3] 

在教學過程中，讓學生經歷探究過程，有助於學生掌握新知。數學學習過程藴藏着比知識更具有智力價值的數學思想與方法。在教學中，教師應該重視學生的學習過程，充分尊重了學生的認識水平和已有知識經驗。讓學生通過計算把分數化成小數（ 除不盡的保留三位小數），引導學生觀察比較，促使學生大膽進行猜想，並進行驗證。這樣，給學生提供了自主探究空間與時間。 在驗證自己猜想的過程中，學生的思維活躍，可以通過認真觀察，獨立思考，發現所有分數都可以表示成小數。一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數，否則為無限小數。反過來，小數化成整數中，小數中除無限不循環小數（無理數）外，都可以表示成分數。在整個探究過程中，充分調動學生學習的積極性與主動性，經歷知識探究過程，學生髮現並理解所學的知識，從而也掌握了一種“猜想—驗證”的學習方法。 ^[1]