漸近分析

最簡單的例子如下：考慮一個函數

，我們需要了解當

變得非常大的時候

的性質。

令

，在

特別大的時候，第二項

比起第一項

要小很多。

於是對於這個函數，有如下斷言：

在

的情況下與

漸近等價”，記作

。 ^[1-2] 

定義：給定關於自然數

的複函數

和

，命題

表明（使用小o符號）：

或（等價記法）：

這説明，對所有正常數

，存在常量

，使得對於所有的

有：

當

不是0或者趨於無窮大時，該命題可等價記作：

漸進等價是一個關於

的函數的集合上的等價關係。非正式地，函數

的等價類包含所有在極限情況下近似等於

的函數

。 ^[2] 

函數

的漸近展開是它的一種級數展開。這種展開的部分和未必收斂，但每一個部分和都表示

的一個漸近表示式。例子：斯特靈公式。 ^[3] 

對於正整數n，分區函數p（n）給出了將整數n寫成正整數之和的方法的數量，其中不考慮加數的順序。

艾裏函數Ai（x）是微分方程y“-xy=0的解;它在物理學中有很多應用。 ^[3] 

漸近分析方法在多個科學領域得到應用。在統計，漸近理論提供限制的近似概率分佈的樣本統計，如似然比統計量和所述期望值中的偏差。然而，漸近理論並不提供評估樣本統計量的有限樣本分佈的方法。非漸近界由近似理論的方法提供。

應用程序的例子如下。

漸近分析是探索現實世界現象的數學建模中出現的常微分方程和偏微分方程的關鍵工具。一個説明性的例子是從控制流體流動的完整Navier-Stokes方程推導邊界層方程。在許多情況下，漸近擴展是在一個小的參數，的功率ε：在邊界層的情況下，這是無量綱的邊界層厚度相對於問題的典型長度尺度比。事實上，漸近分析在數學建模中的應用往往圍繞一個無量綱的參數，通過考慮手邊的問題的尺度，已經顯示或假定為很小的參數。

漸近展開通常出現在某些積分（拉普拉斯方法，鞍點方法，最速下降方法）或近似概率分佈（埃奇沃思（Endworth）系列）的逼近中。該費曼圖在量子場論是往往不收斂漸近展開的另一個例子。 ^[3]