樣本統計量

定義1 設X₁,X₂,...,X_n是來自總體X的容量為n的樣本，如果X₁,X₂,...,X_n相互獨立且每一個都是與總體X有相同分佈的隨機變量，則稱X₁,X₂,...,X_n為總體X的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱為簡單樣本或樣本。 ^[1] 

注：樣本X₁,X₂,...,X_n也可用n維隨機向量 (X₁,X₂,...,X_n) 表示。記x_i為X_i的一次觀察值，並稱(x₁,x₂,...,x_n)為樣本X₁,X₂,...,X_n的一次觀察值。 ^[1] 

定義2 設X₁,X₂,...,X_n為總體X的樣本，T為n維實值函數，作樣本X₁,X₂,...,X_n的函數T=T(X₁,X₂,...,X_n)（不帶未知參數的隨機變量），T的取值記為t=T(x₁,x₂,...,x_n)，稱T或T(X₁,X₂,...,X_n)為樣本統計量，簡稱為統計量。 ^[1] 

注：1）統計量指的是樣本的函數，並且不含有未知參數。樣本的函數等價於定義在樣本空間上的函數。

2）給定樣本的一次觀察值x=(x₁,x₂,...,x_n) 時，T(x₁,x₂,...,x_n)的值完全確定。 ^[1] 

例1 ^[1]  設X₁,X₂,...,X_n為總體X的樣本，其容量為n. 記

則

及

都是統計量，稱

及

分別為樣本X₁,X₂,...,Xn的平均值及方差。樣本的觀察值為x₁,x₂,...,x_n，

及

的觀察值分別記作

定義3 設X₁,X₂,...,X_n為總體X的樣本，今由樣本建立n個函數：

其中

為這樣的統計量，它的觀察值為

，

為樣本X₁,X₂,...,X_n的觀察值x₁,x₂,...,x_n中由小到大排列後的第k為數值，則稱

為順序統計量。 ^[1] 

注：易見，

稱

為最小項統計量，

為最大項統計量。 ^[1] 

定義4 設X₁,X₂,...,X_n為總體X的樣本，則稱統計量

為樣本的極差。 ^[1] 

注：極差是樣本中最大值與最小值之差，反映了樣本觀察值的波動幅度。它同方差一樣是反映觀察值離散程度的數量指標，而且計算方便。 ^[1] 

統計量是對總體X的分佈函數或數字特徵進行估計與推斷最重要的基本概念，求出統計量T(x₁,x₂,...,x_n)的分佈函數是數理統計學的基本問題之一。統計量的分佈，稱為抽樣分佈。 ^[1]