樣本方差

樣本方差的公式為

其中

為樣本均值。 ^[1] 

在許多實際情況下，人口的真實差異事先是不知道的，必須以某種方式計算。 當處理非常大的人口時，不可能對人口中的每個物體進行計數，因此必須對人口樣本進行計算。樣本方差也可以應用於從該分佈的樣本的連續分佈的方差的估計。 ^[2-3] 

我們從一個樣本取n個值y₁，...，y_n，其中n 偏差的平均值： ^[4] 

這裏，

表示樣本均值。

由於

是隨機選擇的，所以

和

是隨機變量。 他們的預期值可以通過從羣體中的大小為n的所有可能樣本

的集合進行平均來評估。 對於

，有

因此

給出了基於因子

的人口方差的估計值。

被稱為偏樣本方差。 糾正該偏差之後形成無偏樣本方差：

估計值可以簡單地稱為樣本方差。 同樣的證明也適用於從連續概率分佈中抽取的樣本。

例如，n=5個樣本觀測值值為3,4,4,5,4，則樣本均值=

， 樣本方差

=

。樣本方差是常用的統計量之一，是描述一組數據變異程度或分散程度大小的指標。

實際上，樣本方差可以理解成是對所給總體方差的一個無偏估計。E(S^2)=DX。

n-1的使用稱為貝塞爾校正（Bessel's correction），也用於樣本協方差和樣本標準偏差（方差平方根）。 平方根是一個凹函數，因此引入負偏差（由Jensen不等式），這取決於分佈，因此校正樣本標準偏差（使用貝塞爾校正）有偏差。 標準偏差的無偏估計是技術上的問題，對於使用術語n-1.5的正態分佈，形成無偏估計。

無偏樣本方差是函數ƒ（y₁，y₂）=（y₁-y₂）²/2的U統計量，這意味着它是通過對羣體的兩個樣本統計平均得到的。

作為隨機變量的函數，樣本方差本身就是一個隨機變量，研究其分佈是很自然的。 在yi是來自正態分佈的獨立觀察的情況下，Cochran定理表明s²服從卡方分佈：

所以可求;

和

如果y_i獨立同分布，但不一定是正態分佈，那麼

如果大數定律的條件對於平方觀測值同樣適用，則s²是σ²的一致估計量。 可以看出，估計的方差趨於零。 在Kenney and Keeping（1951：164），Rose和Smith（2002：264）和Weisstein（n.d.）中給出了漸近等效的公式。

正態總體的樣本均值和樣本方差相互獨立。 ^[5]