測量平差

由於測量儀器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測量誤差總是不可避免的。為了提高成果的質量，處理好這些測量中存在的誤差問題，觀測值的個數往往要多於確定未知量所必須觀測的個數，也就是要進行多餘觀測。有了多餘觀測，勢必在觀測結果之間產生矛盾，測量平差的目的就在於消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結果並評定測量成果的精度。測量平差採用的原理就是“最小二乘法”。

測量平差是用最小二乘法原理處理各種觀測結果的理論和計算方法。測量平差的目的在於消除各觀測值間的矛盾，以求得最可靠的結果和評定測量結果的精度。任何測量，只要有多餘觀測，就有平差的問題。

為了提高成果的質量，處理好測量中存在的誤差問題，要進行多餘觀測，有了多餘觀測，勢必在觀測結果之間產生矛盾，測量平差目的就在於消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠的結果，並評定測量成果的精度。

（1）觀測數據檢核，起始數據正確性的處理

（2）列出誤差方程式或條件方程式，按最小二乘法原理進行平差

（3）平差結果的質量評定。按觀測量相互間的關係，可分為相關的或不相關的平差。平差的方法有直接平差、間接平差、條件平差、附有條件的間接平差和附有未知數的條件平差等。

測量誤差理論主要在對模型誤差的研究上，主要包括：平差中函數模型誤差、隨機模型誤差的鑑別或診斷；模型誤差對參數估計的影響，對參數和殘差統計性質的影響；病態方程與控制網及其觀測方案設計的關係。由於變形監測網參考點穩定性檢驗的需要，導致了自由網平差和擬穩平差的出現和發展。觀測值粗差的研究促進了控制網可靠性理論，以及變形監測網變形和觀測值粗差的可區分性理論的研究和發展。針對觀測值存在粗差的客觀實際，出現了穩健估計(或稱抗差估計)；針對法方程係數陣存在病態的可能，發展了有偏估計。與最小二乘估計相區別，穩健估計和有偏估計稱為非最小二乘估計。

計量應用

計量科學與測繪科學都是以物理學、數學及近代計算機科學為基礎的學科，本質上兩者是相容、一致的。在計量學中，對測量不確定度給出的綜合的不確定性評價，此評價不但考慮了觀測時各種誤差因素的聯合影響，包括觀測時隨機效應的影響，一些系統效應的影響， 也考慮了測量時其他因素的影響，文章主要針對這一問題進行探討，旨在通過對“測量平差理論在計量中的應用”的本質內涵的深入探討，期望這一問題得到緩解或解決，最終的目的是便於測繪儀器校準工作的開展。

由於測量儀器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測量誤差總是不可避免的。為了提高成果的質量，處理好這些測量中存在的誤差問題，觀測值的個數往往要多於確定未知量所必須觀測的個數，也就是要進行多餘觀測。有了多餘觀測，勢必在觀測結果之間產生矛盾，測量平差的目的就在於消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結果並評定測量成果的精度。測量平差採用的原理就是“最小二乘法”。

考慮函數是待定常數，如果在一直線上，可以認為變量之間的關係，但一般説來，這些點不可能在同一直線上。記，它反映了用直線來描述時，計算值與實際值產生的偏差。當然要求偏差越小越好，但由於可正可負，因此不能認為總偏差時，函數就很好地反映了變量之間的關係，因為此時每個偏差的絕對值可能很大。為了改進這一缺陷，就考慮用來代替，但是由於絕對值不易作解析運算，因此，進一步用來度量總偏差。因偏差的平方和最小可以保證每個偏差都不會很大。於是問題歸結為確定中的常數和使為最小，用這種確定係數的方法稱為最小二乘法。

其精確定義可以從一組測定的數據中尋求變量之間的依賴關係,這種函數關係稱為經驗公式。最小二乘法如何尋之間近似成線性關係時的經驗公式，假定實驗測得變量之間個數 , ,…, ,則平面上,可以得個 ,這種圖形稱為“散點圖”,從圖中可以粗略看出這些點大致散落在某直線近旁，我們認之間近似為一線性函數,下面介紹求解步驟，考慮函 ,其是待定常數.如在一直線上,可以認為變量之間的關係 。但一般説來,這些點不可能在同一直線上，它反映了用直線來描述時，計算值與實際值產生的偏差。 ^[3]  當然要求偏差越小越好,但由可正可負,因此不能認為總偏時,函就很好地反映了變量之間的關係,因為此時每個偏差的絕對值可能很大。為了改進這一缺陷,就考慮來代替。但是由於絕對值不易作解析運算,因此,進一步來度量總偏差。因偏差的平方和最小可以保證每個偏差都不會很大，於是問題歸結為確中的常 ,為最小，用這種方法確定系 ,的方法稱為最小二乘法。最小二乘法是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配，是用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值。

測繪中廣泛使用的測量平差法，是基於最小二乘原理的測量數據處理方法，它是利用直接測量採集觀測數據（觀測向量），再利用此觀測數據（ 觀測向量）結合平差數學模型，對被測量結果進行估計的過程，估計方法採用“數理統計學” 中著名的“ 最小二乘法”。平差處理結果包括被測量的測量結果和表徵此測量結果不確定性的標準差（中誤差）。測量平差法本質上相當於對測量中的隨機誤差進行了有效的減弱（ 採集數據量越大， 減弱效果越好， 直到幾乎消除）， 對測量中不等權的非確定性系統誤差（ 即大小水平不一致的非確定性系統誤差）進行了合理的分配，但對於測量中等權的非確定性系統誤差（即大小水平一致的非確定性系統誤差）沒有起到消除或減弱作用。所以，平差後所得的測量結果標準差（ 中誤差），只是表徵了隨機效應導致的測量不確定性（ 度），是測量不確定度的隨機分量，為了完全表徵測量結果不確定性（ 度）， 還需要考慮系統效應導致的不確定性（ 度） 並加以合成 ^[1]  。

測量平差法雖然包括了一定的現場測量條件，但其測量結果（平差結果）只是測得值所處範圍的一個參數（隨機誤差）。在計量學中，測量的目的是為了確定被測量的量值。測量不確定度就是對測量結果質量的定量表徵，測量結果表述必須同時包含賦予被測量的值及與該值相關的測量不確定度，才是完整並有意義的。用測量不確定度表徵測量結果不確定性，既要考慮測量結果的系統誤差效應，又考慮了測量結果的隨機誤差效應，嚴格説還考慮了測量結果的模糊效應，所以測量不確定度具有嚴密的科學性與嚴謹性，是測量結果不確定性的精確描述。隨機誤差（平差結果）是由於測量時的隨機因素或效應所引起的相對於被測量真值的偏差，這種隨機因素或效應，將導致重複測量時測量結果值的分散性。這説明，隨機誤差具有隨機不確定性，這種不確定性的具體特徵就是值的分散性，隨機誤差應屬於隨機不確定性量，其數學期望（均值）為零。

測量結果=被測量真值+系統誤差+隨機誤差

=被測量真值+確定性系統誤差+非確定性系統誤差+隨機誤差

=確定性分量+非確定性分量

以上討論了測量平差結果在計量學測量結果不確定度評定中，只是不確定度分量之一。因為，測量結果是被測量真值、系統誤差、隨機誤差（中誤差）這三個量的合成，故其不確定性應由這三個量的不確定性決定，研究測量結果不確定度應由這三個量的不確定度着手。僅考慮隨機不確定性，是不全面不客觀的 ^[2]  。