波萊爾集

在數學中，對波萊爾集的研究主要是在描述集合論中。但是，大學數學系的學生通常是在實變函數論的課程中最早接觸到波萊爾集。 ^[1] 

波萊爾集可以分成很多的層次。通常把開集和閉集定義為第一層。可數的開集的交集，可數個閉集的並集為第二層。依此類推，總的層次超過了可數層。

波萊爾集是由開集或閉集通過取並，取交或者取補形成的拓撲空間中的任何集合。

對於拓撲空間X，X上的所有波萊爾集的集合形成σ-代數，稱為波萊爾代數或波萊爾σ-代數。 X上的波萊爾代數是包含所有開集（或所有閉集）的最小σ-代數。

波萊爾集在測度論中是很重要的，因為任何度量都在該空間上的開集和閉集以及波萊爾集上定義。在波萊爾集上定義的任何測度都被稱為波萊爾測度。 波萊爾集和相關的波萊爾層也在集合理論中發揮關鍵性作用。

在某些情況下，波萊爾集被定義為由拓撲空間的緊集而不是開集生成。這兩個定義對於許多空間（包括所有豪斯多夫σ-緊集）來説是等價的，但在病態空間中可以是不同的。 ^[2] 

在X是度量空間的情況下，波萊爾代數的第一意義上可以被描述如下：

對於X的子集的集合T，讓：

（1）

都是T的元素的可數集；

（2）

是T的元素的所有可數交集；

（3）

。

現在通過下列方式來定義序列

，其中m是序數：

（1）對於定義的基本情況，讓

是X的開放子集的集合。

（2）如果i不是一個極限序數，那麼i有一個緊接在前面的序數i-1，讓

（3）如果i是一個極限序數，讓

波萊爾代數是G^ω1，其中ω₁是第一個不可數序數。 也就是説，波萊爾代數可以通過迭代運算到第一個不可數序數從開放類生成。

為了證明這種説法，請注意，度量空間中的任何開集是閉集的遞增序列的並集。 特別地，集合的互補將G^m映射到極限序數m；此外，如果m是不可數的序數，G^m在可數集合下封閉。

注意，對於每個波萊爾集合B，存在一些可數序數α_B，使得可以通過迭代α_B上的操作來獲得B。 然而，隨着B在所有波萊爾集上變化，α_B將在所有可數序數上變化，因此獲得所有波萊爾集的第一個序數是ω₁，第一個不可數的序數。 ^[3] 

（1）有一個很重要的例子，特別是在概率論中，是實數集上的波萊爾代數。 它是一種波萊爾測度被定義的代數。 給定在概率空間上定義的真實隨機變量，其概率分佈也是波萊爾代數上的度量。

（2）雷達上的波萊爾代數是包含所有間隔的R上最小的σ-代數。

（3）在通過無限次感應的構造中，可以看出，在每個步驟中，集合的數量最多是連續體的數量。 因此，波萊爾集合的總數小於或等於

讓X是拓撲空間。 與X相關聯的波萊爾空間是一個對：

，其中B是X的波萊爾集的σ-代數。

麥克定義了一個不同的波萊爾空間，寫出它是“與一個被稱為它的波萊爾集的子集的σ-域”。然而，現代用法是將可分辨的子代數可計量集合和這樣的空間稱為可測量空間。 這個區別的原因是波萊爾集是由開集（拓撲空間）生成的σ-代數，而麥克的定義是任意σ-代數的集合。 存在可測量的空間，而不是波萊爾空間。

可測量空間形成一個類別，其中態射是可測量空間之間的可測量函數。 函數

是可測量的，如果它拉回可測量集合，即對於Y中的所有可測量集合B，

是X中的可測量集合。

定理：令X為波蘭空間，即拓撲空間，使得X上的度量d定義X的拓撲，並使X成為完全可分的度量空間。那麼X作為波萊爾空間與（1）R、（2）Z或（3）有限空間之一是同構的。 （這個結果讓人想起馬哈拉姆定理）

被認為是波萊爾空間，實線R，R與可數集的並，以及Rⁿ他們是同構的。

標準波萊爾空間是與波蘭空間相關聯的波萊爾空間。標準的波萊爾空間的特徵在於它的基數同構，和任何不可數的標準波萊爾空間具有連續體的基數。

對於波蘭空間的子集，波萊爾集可以表徵為這些集合，其是在波蘭空間上定義的連續注入圖的範圍。但是請注意，連續非投影地圖的範圍可能無法為波萊爾。

在標準波萊爾空間上的每個概率測量將其變為標準概率空間。 ^[4] 

根據P.Holmos所描述的，局部緊湊豪斯多夫拓撲空間的子集稱為波萊爾集，如果它屬於包含所有緊集的最小σ-環。

諾伯格和Vervaat將拓撲空間X的波萊爾代數重新定義為由其開集及其緊集的飽和子集產生的

-代數。 在X不是豪斯多夫的情況下，此定義非常適合。 如果X是第二個可計數的，或者每個緊集的飽和子集是封閉的（特別是X是豪斯多夫）的情況下，它與通常的定義一致。