正則素數

在數論中，正則素數的概念首先由恩斯特·庫默爾在1847年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是：

定義：素數p是正則素數，當且僅當p不整除分圓域

的類數。

此定義美則美矣，卻不容易計算。另一種定義方式是：素數p是正則素數，當且僅當p不整除伯努利數

的分子。

頭幾個正則素數為：

庫默爾證明了：當p是正則素數時，

不存在非零整數解。最小的10個非正則素數是37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS中的數列A000928）。 已知存在無窮多個非正則素數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則素數。 ^[1] 

費馬大定理，也稱費馬最後定理（法語：Le dernier théorème de Fermat)；(英語：Fermat's Last Theorem），其概要為：

當正整數n>2時，關於x，y，z的不定方程

沒有正整數解

以上陳述由17世紀法國數學家費馬提出，一直被稱為“費馬猜想”，直到英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）於1995年將他們的證明出版後，才稱為“費馬大定理”。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬錶明他已找到一個精妙的證明而頁邊沒有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成了定理。在衝擊這個數論世紀難題的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得了包括邵逸夫獎在內的數十個獎項。 ^[1] 

恩斯特·愛德華·庫默爾（Ernst Eduard Kummer，1810年1月29日－1893年5月14日），德國數學家。庫默爾的研究領域主要有三個方面：函數論、數論和幾何。在函數論方面，他研究了超幾何級數，首次計算了該級數單值羣的代入值。在幾何方面，他研究了一般射線系統，並用純代數方法構作了一個四次曲面，它有16個孤立的二重點，16個奇異切平面，現在稱之為庫默爾曲面。庫默爾在數論上花的時間最多，貢獻也最大。最重要的是他提出了理想數的概念。當時庫默爾所關心的問題首先是高斯研究過的高次互反律，其次是費馬大定理。 ^[1] 

數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。被譽為“最純”的數學領域。正整數按乘法性質劃分，可以分成質數，合數，1，質數產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等，即。很多問題雖然形式上十分初等，事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 ^[1]