模同態

設M,N是兩個R模，f是交換羣M到N的羣同態，若f還保持R到M,N上的作用，即對任意r∈R，f(rx)=rf(x)，x∈M，則稱f是模同態。常記為f∈Hom_R(M,N)或f∈Hom(M,N)。 ^[4] 

模同態(module homomorphism)是模論的重要概念之一。指兩個模之間的一類映射。任意兩個模M，N之間總存在模同態，例如，設f(x)=0，x∈M，通常稱此同態為零同態。若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是_AM到_AM-的模同態，則稱π為自然同態。模M，N之間的模同態集Hom_A(M，N)是一個加羣，特別地，當M=N時，記： ^[2] 

End(_AM)=Hom_A(M，N)，

它是一個環，稱為模M的自同態環。A是End(_AM)的子環。

模是一個重要的代數系統。它是一個帶算子區A的交換(加)羣M.給定集合A與交換羣M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區，稱M為帶算子區A的模，又稱為A上的模或A模.這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換羣M能否成為A模就是看能否給出映射

μ： A→End(M)，　a→a_M.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A.若A有單位元1，且又滿足條件

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或幺模，以下設A模都是酉模。

模論是抽象代數學的重要組成部分之一，主要研究環上的模。模的概念本質上是域上向量空間的直接推廣。早在19世紀，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾經考慮過多項式環上的模，20世紀20年代，諾特(Noether，E.)曾一再提出過模的重要作用。交換環上的模在代數幾何中有重要作用，非交換環特別是羣環上的模就是羣的線性表示，域上的模就是向量空間。到了20世紀40年代，由於環論的需要和同調代數的興起，模論得到了進一步發展。近30年來，已成為同調代數、羣論、環論、代數K理論、範疇論等分支學科研究中不可缺少的工具，並在其他數學分支，如代數幾何、拓撲學、泛函分析甚至微分方程等領域裏得到了較廣泛的應用。現代模論已成為內容豐富、文獻浩繁的代數學的一個獨立分支。

設E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射。f是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態， 而並不因此就是幺半羣的同態)。

設G為乘法羣，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法羣Z到G中的映射f是羣的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法羣的同態，且為乘法麼半羣的同態. 這就是説，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。 ^[3] 

自然同態亦稱標準同態或典範同態。羣到其商羣上的一種特殊同態。若N是羣G的一個正規子羣，則存在G到商羣G/N上的一個映射f：g↦Ng。這個映射是G到G/N的滿同態，稱為自然同態，其中：

Imf=G/N，　ker f=N。