自然同態

自然同態(natural homomorphism of a group)亦稱標準同態或典範同態。羣到其商羣上的一種特殊同態。若N是羣G的一個正規子羣，則存在G到商羣G/N上的一個映射f：g↦Ng.這個映射是G到G/N的滿同態，稱為自然同態，其中： ^[1] 

Imf=G/N，　ker f=N.

設E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射。f是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態， 而並不因此就是幺半羣的同態)。

設G為乘法羣，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法羣Z到G中的映射f是羣的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法羣的同態，且為乘法麼半羣的同態。這就是説，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足： ^[2] 

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣；時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

商羣亦稱因子羣，又稱模H的剩餘類羣。由正規子羣的陪集組成的一種羣。設H是羣G的一個正規子羣，G關於H的所有左陪集所成的集合G/H={xH|x∈G}按照如下的乘法：(xH)(yH)=(xy)H成為一個羣，稱為G關於H的商羣。由於H是正規子羣，xH=Hx，所以G/H也是H的右陪集所成的集合，因此，無論用左陪集還是右陪集來定義商羣，結果是一致的。當G是加法羣時，G/H也常寫成G-H，稱為差羣。

設G為羣，R為與G的法則相容的G中之等價關係。 賦以商法則，則商集G/R是羣，稱在G對R的商羣。G的中性元素的等價類是G的正規子羣。反之，對G的任一正規子羣G′，由滿足：

的偶(x，y)定義的關係R是與G的法則相容的等價關係。商羣G/R叫做G對G′的商羣，記為G/G′。

亦稱不變子羣。一類重要的子羣。在共軛作用下不變的子羣。設H是羣G的一個子羣，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子羣，記為HG。子羣H是G的正規子羣的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子羣，稱為G的平凡正規子羣。 ^[3]