概率母函數

如果X是在非負整數域{0，1， ...}上取值的離散隨機變量，那麼X的概率母函數定義為 ：

其中p是X的概率質量函數。 ^[1] 

如果X= (X₁，...，X_d )是在d-非負整數格{0，1， ...}上取值的離散隨機變量， 那麼X的概率母函數定義為：

其中p是X的概率質量函數。 ^[1] 

概率母函數服從冪級數的所有非負係數的規則。特別地，

，其中

，因為概率必須總和為1。所以任何概率母函數的收斂半徑必須至少為1，通過具有非負係數的冪級數的Abel定理來證明。 ^[1] 

以下性質是與X有關的各種基本量的推導：

1、X的概率質量函數通過取G的導數來恢復，

2、概率密度函數的歸一化可以用母函數來表示：

該預期的X由下式給出：

所以，X的方差由下式給出 ^[1]  ：

概率母函數對於處理獨立隨機變量的函數特別有用。例如：

如果X₁，X₂，...，X_n是一系列獨立的（不一定是相同分佈的）隨機變量，並且

其中a_i是常數，則概率母函數由下式給出：

例如，如果

那麼，概率母函數G_SN（z）由下式給出：

也就是説，兩個獨立隨機變量S=X₁-X₂的差的概率母函數是 ^[1]  ：

1.一個常數隨機變量（即

）的概率母函數是：

2.一個的概率母函數二項式隨機變量，在成功的次數Ñ試驗中，概率p是每次試驗成功的概率，概率母函數是：

注意，這是具有參數p的伯努利隨機變量的概率母函數的n倍乘積。

所以，擲硬幣時間的概率母函數是：

3.一個概率母函數的負二項隨機變量在{0，1，2 ...}中，每次試驗的成功概率p，概率母函數是 ^[2]  ：

概率母函數是一個的例子母函數的序列組成：也見形式冪級數。這與概率質量函數的z變換等效，有時稱為z變換。

其他隨機變量的母函數包括矩母函數、特徵函數和累積量母函數。 ^[2]