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極小曲面
(物理學概念)
鎖定
- 中文名
- 極小曲面
- 外文名
- minimal surface
- 學 科
- 數理科學
- 應用領域
- 計算機仿真,建築設計
極小曲面簡介
平均曲率為零的曲面。平均曲率定義為:
,其中
表示兩個主曲率。給定一條閉曲線,可以設想蒙在這條閉曲線上的所有曲面中,有一個面積最小者,這個具有最小面積的曲面正是極小曲面。平面是僅有的極小可展曲面。除平面外,旋轉極小曲面都是懸鏈面,直紋極小曲面都是正螺面。
極小曲面的經典例子包括:
1)歐幾里得平面,無特別約束條件下最平常的極小曲面;
2)懸鏈曲面:由懸鏈線圍繞其水平準線旋轉而得到的曲面。這是最早發現的“不尋常”的極小曲面。懸鏈曲面狀的皂液膜可以由將兩個等大的圓環緊貼放入肥皂水中,拿出後再緩慢分開得到;
3)螺旋曲面:一個線段沿着垂直於其中點的直線勻速螺旋上升時掃過的曲面。這是繼懸鏈曲面後發現的第二種不尋常的極小曲面;
4)恩內佩爾曲面。
極小曲面定義
給定一個嵌入曲面,或更一般的,一個浸入曲面(其邊界一般固定,但不一定有界),定義其平均曲率如下:
極小曲面與布朗過程的聯繫
極小曲面上的布朗過程可以用於某些極小曲面相關定理的概率證明。
極小曲面相關研究
著名的普拉托實驗是把圍成封閉曲線的金屬絲放入肥皂溶液中,然後取出來,由於表面張力的作用,在它上面就蒙有表面積最小的薄膜。這種表面積最小的曲面就是所謂極小曲面,從數學上求這膜曲面的問題稱為普拉託問題。這個問題可以用變分法來解
[2]
。
從變分學觀點看,可以考慮以已知閉曲線Γ為固定邊界的曲面的法向變分。由歐拉-拉格朗日方程(見變分法),對於任何這樣的變分,曲面面積達到臨界值的充要條件是曲面的平均曲率
為0。因此,通常就用這個幾何條件來定義極小曲面。
通常稱它為極小曲面方程。