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平均曲率
鎖定
- 中文名
- 平均曲率
- 外文名
- Mean curvature
- 介 紹
- 微分幾何中一個彎曲測量標準
- 出 處
- 《彈性理論》
- 學 科
- 數理科學
- 提出者
- 索菲.熱爾曼
平均曲率基本介紹
曲面的兩個主曲率之積K=k1k2叫曲面的高斯曲率,兩個主曲率的平均值
叫做曲面的平均曲率。
平均曲率定義
這裏 E,F,G 是第一基本形式的係數,L,M,N 為第二基本形式的係數。
平均曲率可推廣為更一般情形 (斯皮瓦克 1999, 第4卷,第7章),一個超曲面 T 的平均曲率為:
更抽象地説,平均曲率是第二基本形式(或等價地,形算子)的跡 。
另外,平均曲率 H 可以用共變導數
寫成
一個曲面是極小曲面當且僅當平均曲率為零。此外,平面 S 平均曲率滿足一個熱型方程稱為平均曲率流方程。
平均曲率三維空間中曲面
這裏法向量的選取影響曲率的正負號。曲率的符號取決於法向量的方向:如果曲面“遠離”法向量則曲率是正的。上面的公式對 3 維空間中任何方式定義的曲面都成立,只要能夠計算單位法向量的散度。
對曲面是兩個座標的函數定義的曲面,比如 z = S(x,y),使用向下的法向量平均曲率(的兩倍)表示為
平均曲率流體力學
在流體力學中使用的另外一種定義是不要因子 2:
Hf=(k1+k2)
平均曲率極小曲面
一個極小曲面是所有點的平均曲率為零的曲面
[3]
。經典例子有懸鏈面、螺旋麪、Scherk 曲面與 Enneper 曲面。新近發現的包括 Costa 極小曲面(Costa's mimimal surface,1982年)與Gyroid(Gyroid,1970年)。 極小曲面的一個推廣是考慮平均曲率為非零常數的曲面,球面和圓柱面就是這樣的例子。Heinz Hopf 的一個問題為是否存在曲率為非零常數的非球面閉曲面。球面是惟一具有常平均曲率且沒有邊界或奇點的曲面;如果允許自交,則存在平均曲率為非零常數的閉曲面,Wente 在1986年曾構造出這樣的自交環面(陳維桓 2006, 4.6節)。
平均曲率參見
平均曲率流
逆平均曲率流
面積公式第一變分
平均曲率註釋
Dubreil-Jacotin on Sophie Germain
Curvature in the Calculus Curriculum
關於角度的平均值。
- 參考資料
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- 1. 斯皮瓦克, 邁克爾 (1999), A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) (3rd ed.), Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4).
- 2. 陳維桓.微分幾何:北京大學出版社,2006
- 3. 趙歡喜,徐國良.用反調和平均曲率流實現網格保特徵平滑[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2006,18(3):325-330.DOI:10.3321/j.issn:1003-9775.2006.03.001.