極小曲面方程

極小曲面方程(minimal surface equation)是在固定邊界上的具有最小面積的曲面所滿足的方程。設Rⁿ⁺¹中的曲面方程為x_n+1=u(x)(x∈Ω)，則面積積分S=∫_Ω√(1+|Du|²₎dx的歐拉-拉格朗日方程Mu=(1/n)D_i((D_iu)/(1+|Du|²))^1/2=0即是極小曲面方程。這是一個熟知的擬線性橢圓型方程，它是更一般的指定平均曲率方程的特例。若Ω是Rⁿ中的有界C²區域，則狄利克雷問題Mu=0(在Ω內)，u=φ(在∂ Ω上)對任意φ∈C⁰(∂ Ω)有解的充分必要條件是邊界∂ Ω的平均曲率處處非負 ^[1]  。