橢圓型方程組

橢圓型方程組(system of elliptic equations) 是描述穩定或定常狀態的一類偏微分方程組。關於自變量x=(x₁，x₂，…，x_n)的N個未知函數的N個2m階線性方程組有如下形式：

其中u，f是具有N個分量的向量函數，

是N×N階矩陣，B是階數低於2m的微分算子，和式對所有足標k₁，k₂，…，k_2m從0取到n。如果矩陣：

的行列式當ξ²₁+ξ²₂+…+ξ²_n≠0時異於零，則稱這個方程組在點x在彼得羅夫斯基意義下是橢圓型的。如果對任意實向量ζ=(ζ₁，ζ₂，…，ζ_N)≠0和具有：

的任何實數ξ₁，ξ₂，…，ξ_n，二次型：

就稱這個方程組在點x是強橢圓型的。此處符號η·ζ表示N維向量的內積。 ^[1] 

分析數學的重要分支之一。包含未知函數及其偏導數的等式叫做偏微分方程。偏微分方程理論研究一個方程(組)是否有滿足某些補充條件的解，有多少個解，解的各種性質及解的求法等。

微積分理論形成後不久，在18世紀初，人們就結合各種物理問題研究偏微分方程。最早引起數學家興趣的是關於弦的振動問題。英國數學家泰勒在1713—1715年就導出了一根張緊的振動弦的基頻。法國數學家達朗貝爾在1747年建立了第一個弦振動方程：

並且得到形如兩個任意函數之和的解：

丹尼爾·伯努利和歐拉等人研究了這個方程的解，並且比達朗貝爾更完整地考慮瞭解的邊界條件和初始條件。圍繞着解用三角級數表示等問題在18世紀下半葉引起了一場激烈的爭論。

1759年，歐拉考慮矩形鼓和球面波的振動，建立了二維和三維的波動方程。由於對萬有引力的研究，出現了所謂的位勢方程：

它首次出現在歐拉1752年的論文中。拉格朗日和勒讓德，特別是後者對這個方程的解進行了深入研究，由此引出所謂的勒讓德多項式。後來由於拉普拉斯的出色工作而又稱這種方程為拉普拉斯方程。

一階偏微分方程首先出現在幾何問題和流體力學問題的研究中(1740年以後)，蒙日給出一階偏微分方程一般理論的幾何解釋。在流體動力學中還出現了第一個偏微分方程組。19世紀初期，柯西和拉格朗日等解決了一階偏微分方程的求解問題，其基本方法是化為求解一階常微分方程組。

在整個18世紀，對偏微分方程的研究都是處於不自覺的狀態。人們認識到解偏微分方程不需要什麼新的特殊技巧，它與解常微分方程的不同之處在於解中可以出現任意函數。在這一時期，通常認為把它們化為常微分方程後便可求解，對偏微分方程理論的探討還有待深入。

到了19世紀，隨着物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程逐漸成為數學研究的中心。不僅出現了一些新的類型，而且已有類型的應用範圍也不斷擴大。

1822年，法國數學家傅立葉在研究熱傳導規律時，發現了(三維)熱傳導方程：

為了在各種定解條件下積分熱傳導方程，傅立葉首先系統地用三角級數的形式表示未知解，由此引起對傅立葉級數的研究。

1839年，德國數學家杜布瓦-雷蒙引入了偏微分方程的標準分類法，他分別稱上述波動方程、位勢方程和熱傳導方程為雙曲型的、橢圓型的和拋物型的。至此，人們逐漸弄清了二階線性偏微分方程的重要類型。

二階以上的偏微分方程，很難化成常微分方程求解。求方程滿足某種特定條件的解叫做定解問題。由於偏微分方程都有很強的實際背景，因此定解問題的提法也比較多。例如對於熱傳導方程，主要研究柯西問題;對於波動方程，研究最多的也是柯西問題和初邊值問題;對於位勢方程，則主要研究兩種邊值問題，第一邊值問題被稱為狄利克雷問題，第二邊值問題被稱為諾伊曼問題。

對於上述種種定解問題，到19世紀末，已有許多解法。但定解問題的系統理論到20世紀才趨於成熟。法國數學家阿達馬在20世紀初建立了偏微分方程定解問題適定性的概念。根據他的觀點，如果定解問題的解存在、唯一併且連續依賴於定解條件，那麼就稱之為適定的。阿達馬被譽為二階線性偏微分方程的總結者，他不僅對定解問題做出貢獻，而且根據二階方程的特徵表達式對方程進行分類，為了研究不同類型方程的共性，他還提出一般方程基本解的概念，為偏微分方程理論的建立奠定了基礎。

19世紀末，人們開始在解析函數範圍內研究偏微分方程。柯西研究了滿足某種初始條件的偏微分方程組，建立了著名的柯西存在性定理，他的工作後來被俄國數學家柯瓦列夫斯卡婭獨立完成並推廣。對於解析函數領域中的偏微分方程，人們還得到其他比較一般的結果。

在特殊類型的二階方程得到充分的研究之後，數學家們轉向一般的二階方程，陸續得到一些結果。20世紀30年代以來，各種泛函分析方法被應用於偏微分方程的研究，不僅可以討論二階方程，而且發展了高階方程的理論，並在一般的一階方程組中也得到許多成果。偏微分方程理論發生了很大的變化。

20世紀40—50年代，人們逐漸認識到絕大多數的偏微分方程(組)無法按經典的分類進行研究，因此需要建立儘可能普遍適用的理論或給出新的分類法。瑞典數學家赫爾曼德、美國數學家盧伊等在這方面都有重要工作。

對於變係數線性方程和非線性方程的研究，在20世紀60年代以後獲得了許多進展，不斷髮展出一些獨特的數學方法。微分算子的概念有很多擴充，出現了擬微分算子和傅立葉積分算子等工具。在非線性問題的研究中，除不動點方法外，拓撲度方法和變分法都是十分有效的工具。 ^[1]