柯西方程

柯西方程是函數方程

此方程的解稱為加性函數，在有理數定義域上，利用初等代數我們很容易得出有一組函數滿足條件，是

,其中

是任意實數。定義域是實數時，同樣有一族函數滿足條件，但有些是極其複雜的，所以我們需要更多的條件得到

，以下條件可得

是正比例函數：

◎

是連續函數（在1821年已被柯西證明），後來在1875年被達布將條件減弱為f在某點連續。

◎存在

, 函數在

有界

◎f單調，或f在某開區間單調。

◎存在

, 使得

, 有

, 或者存在

, 使得

, 有

另外，如果沒有其他條件的話，（假如承認選擇公理成立），那麼有無窮非

的函數滿足該條件,這是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念證明的。

希爾伯特第五問題是該方程的推廣

存在實數

使得

解稱為柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希爾伯特第三問題中，從3-D向高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。

, 那麼有

, 即

.

, 那麼由

, 即

.

利用數學歸納法,可知

.

將

用

代替，那麼有

任意有理數

,有

以上合起來，就是任意

有

, 取

,可得

,得證。

由於函數連續，且有理數稠密，不難説明

在

為任意實數上成立（利用有理數逼近）。

定義函數

,顯然

是實值函數。

由於

所以

也是滿足柯西函數方程的函數

因此任意

,我們有

由於

在

上有界，那麼設界為

，即任意

,有

那麼由於

,有任意

,

,即

在

有界

由於任意

不在

,有有理數

，使得

,

即

同樣有界,即

在

上有界

而若有

,使得

不為0，那麼必存在

，使得

趨向無窮大，矛盾。

因此

恆成立，即

根據連續的定義可知，任意δ,存在ε，使得

,即

在區間有界，化為上面的條件。

在某區間

單調，那麼任意

,

,

其中

,將

逼近

，不難説明

.

而任意

,存在

，使得

,

同理可知成立。

保號是指：存在

,使得

,有

,或者存在

,使得

,有

。

根據對稱性我們只需證明"存在

,使得

,有

"的情況。

任意

,存在n,使得

,那麼利用

,即可得f(x)單調，化為上面條件。 ^[1] 

以下的證明將顯示“其他的解”(若存在)是相當病態(pathological)的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖

在

中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義着手證明。

詳情如圖1所示

要構造出反例，必須承認 選擇公理或 Zorn引理，從而當我們把 看成是 上的線性空間時，它允許我們選出無窮多個元素作為基底，使得每個實數都能寫成 以有理數為係數 的有限個基底的線性組合，稱為哈默基(Hamel Basis)。

詳情如圖2所示