最優化模型

最優化問題就是在給定條件下尋找最佳方案的問題。最佳的含義有各種各樣：成本最小、收益最大、利潤最多、距離最短、時間最少、空間最小等，即在資源給定時尋找最好的目標，或在目標確定下使用最少的資源。生產、經營和管理中幾乎所有問題都可以認為是最優化問題，比如產品原材料組合問題、人員安排問題、運輸問題、選址問題、資金管理問題、最優定價問題、經濟訂貨量問題、預測模型中的最佳參數確定問題，等等 ^[2]  。

最優化問題根據有無約束條件可以分為無約束條件的最優化問題和有約束條件的最優化問題。無約束條件的最優化問題就是在資源無限的情況下求解最佳目標，而有約束條件的最優化問題則是在資源限定的情況下求解最佳目標。無約束條件的最優化問題是有約束條件的最優化問題的特例。實際問題一般都有資源限制，所以大部分最優化問題都是有約束條件的最優化問題。

最優化問題根據決策變量在目標函數與約束條件中出現的形式可分為線性規劃問題和非線性規劃問題。如果決策變量在目標函數與約束條件中只出現一次方的形式，即目標函數和約束條件函數都是線性的，則稱該規劃問題為線性規劃問題。如果決策變量在目標函數或者約束條件中出現了一次方以外( 二次方、三次方、指數、對數、三角函數等)的形式，即目標函數或者約束條件函數是非線性的，則稱該規劃問題為非線性規劃問題，其中只出現二次函數形式的問題稱為二次規劃問題。線性規劃問題是最簡單的規劃問題，也是最常用的規劃問題，對其進行的理論研究較早、也較成熟，可以找到全局最優解。非線性規劃問題形式多樣、求解複雜,不能保證找到全局最優解，大部分情況下只能找到局部最優解。線性規劃問題是非線性規劃問題的一種特例。

最優化問題根據決策變量是否要求取整數可分為整數規劃問題和任意規劃問題。整數規劃問題中決策變量只能取整數，任意規劃問題中決策變量可以取任意值，所以整數規劃問題是任意規劃問題的一種特殊形式。整數規劃問題中如果決策變量只能取0或1，則稱這種特殊的整數規劃問題為0-1規劃問題 ^[2]  。

將一個最優化問題用數學語言來描述，即為求函數

在約束條件

和

下的最大值或最小值，其中

為目標函數，

為決策變量，

為可行域。 ^[3] 

決策變量是指最優化問題中所涉及的與約束條件和目標函數有關的待確定的量。一般來説，它們都有一些限制條件（約束條件），與目標函數緊密關聯。在最優化問題中，與變量有關的待求其極值（或最大值最小值）的函數稱為目標函數。在最優化問題中，求目標函數的極值時，變量必須滿足的限制稱為約束條件。 例如，許多實際問題變量要求必須非負，這是一種限制；在研究電路優化設計問題時，變量必須服從電路基本定律，這也是一種限制等等。在研究問題時，這些限制我們必須用數學表達式準確地描述它們。

(1) 確定決策變量和目標變量；

(2) 確定目標函數的表達式；

(3) 尋找約束條件 ^[3]  。

最優化問題的數學模型一般都由設計變量、目標函數和約束條件三部分構成。這些要素在數學規劃中都會得到完整的體現。數學模型只是真實系統的替代物，它的好壞直接影響到最優化設計的質量。因此，要構造一個好的模型，必須按照以下原則進行 ^[4]  。

(1) 用簡單模型能夠解決的問題就不要建立複雜的模型。就模型的結構而言，“越大”、“越複雜”並不一定意味着“越好”，與問題本身相比，模型的優化可能要花費更多的時間和財力。不能僅僅從模型的外觀來判斷模型的優劣，簡單的模型不一定就劣，複雜的模型不一定就優。所以，在解決實際問題中，一定不要把模型搞得太複雜。

(2) 建立模型要避免生搬硬套。在數學模型與真實的系統之間，切不可通過修改問題去適應求解的方法，而應該是選擇適合所求解問題的具體模型和方法。即切不可削足適履，而應該是選擇適足之履。

(3) 必須嚴格掌握模型的推論。當模型的結論與實際不符時，要認真地找出可能產生的原因，尤其重要的是，要對原來的假設進行重新審查，一定要把表達式中的外部誤差(由模型的構造產生)和邏輯方面的內部誤差(由模型的求解或運行產生)區分開來。

(4) 在應用模型之前，必須對其有效性進行檢驗，以確切瞭解它與近似標準偏離或吻合的程度。應該既不強迫使用一個模型，也不在應用模型失敗時隨意地非難一個模型。

(5) 要十分重視信息工作。模型的工作情況取決於輸入的信息。眾所周知，計算機編程的規則是：輸入的是垃圾，輸出的必然是垃圾。這個準則對建立模型也同樣適用。計算機或模型只能運用輸入的數據工作，而對識別和糾正輸入數據本身的錯誤是無能為力的。

(6) 模型不能代替決策者。常有人認為，一旦確定了所要考慮的事項，模型就會自動做出決策。這是一種誤解。事實上，許多問題常常受到非數量因素的影響。這些問題需要依靠因人而異的決策能力來解決。只有最一般的決策問題才能靠模型“自動”地解決，但在出錯時仍需要人來修正系統 ^[4]  。