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換元法
鎖定
- 中文名
- 換元法
- 外文名
- method of substitution
- 別 名
- 變量代換法
- 性 質
- 科學
- 類 別
- 數學
換元法方法介紹
亦稱輔助未知數法,又稱變元代換法.解方程組的一種重要方法。它是普遍應用的一種方法,其一般意義是將由一個或幾個變元構成的數學表達式中的一部分用新的變元表示,以利於問題的解決.這裏僅給出在解方程(組)和解不等式(組)中的應用
[2]
。
換元法分類
換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量的變量求出結果之後,返回去求原變量的結果.換元法通過引入新的元素將分散的條件聯繫起來,或者把隱含的條件顯示出來,或者把條件與結論聯繫起來,或者變為熟悉的問題.其理論根據是等量代換.
高中數學中換元法主要有以下兩類:
(1)整體換元:以“元”換“式”。
(2)三角換元 ,以“式”換“元”。
(3)此外,還有對稱換元、均值換元、萬能換元等.換元法應用比較廣泛。如解方程,解不等式,證明不等式,求函數的值域,求數列的通項與和等,另外在解析幾何中也有廣泛的應用。
換元法應用技巧
換元法分解因式
換元法相關例題
例題 1
注意:換元后勿忘還元。
【例】在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時,可以令y=x²+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1).
例2,(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可寫為
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以
解高次方程
有時在解方程時,可以選擇方程中的相同的部分換成另一個未知數,達到降次的目的,然後進行新方程求新未知數,最後再轉換回來求原未知數,這種方法叫做換元法。
例題2
注意:換元后勿忘還元。
【例】解方程(x²-2x)²-3(x²-2x)-4=0
解:設x²-2x=y,則原方程變為y²-3y-4=0
(y-4)(y+1)=0
y-4=0或y+1=0
y1=4 y2=-1
當y=4時,x²-2x=4 解得x1=1+√5 x2=1-√5
當y=-1時,x²-2x=-1解得x1=x2=1
所以,原方程的根為x1=1+√5 x2=1-√5 x3=1