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施瓦爾茲不等式

數學上，柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣，如赫爾德不等式。

中文名: 施瓦爾茲不等式
外文名: Schwarz inequality

別名: 柯西-施瓦茨不等式
領域: 數學

施瓦爾茲不等式簡介

不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。^[1]

施瓦爾茲不等式敍述

柯西-施瓦茨不等式敍述，對於一個內積空間所有向量x和y，

其中

表示內積，也叫點積。等價地，將兩邊開方，引用向量的範數，不等式可寫為

另外，等式成立當且僅當x和y線性相關（或者在幾何上，它們是平行的，或其中一個向量的模為0）。

若

和

有虛部，內積即為標準內積，用拔標記共軛複數那麼這個不等式可以更明確的表述為

柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果，是內積為連續函數，甚至是滿足1階利普希茨條件的函數。^[2]

施瓦爾茲不等式特例

對歐幾里得空間Rⁿ，有

等式成立時：

也可以表示成

證明則須考慮一個關於

的一個一元二次方程式

，很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式

。

注意到

即

而等號成立於判別式

時，也就是此時方程式有重根，故

對平方可積的復值函數，有

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恆等式

這是

在n=3 時的特殊情況。^[3]

施瓦爾茲不等式複變函數中的柯西不等式

設

在區域D及其邊界上解析，

為D內一點，以

為圓心做圓周

，只要

及其內部G均被D包含，則有：

其中，M是

的最大值，

。^[4]

施瓦爾茲不等式其它推廣

施瓦爾茲不等式參見

參考資料

1. Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (2015), "Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses", Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275–295, doi:10.15352/afa/06-3-20
2. Bityutskov, V. I. (2001) [1994], "Bunyakovskii inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
3. Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4 (3): 142 pp, archived from the original on 2008-07-20
4. Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318

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最近更新：志龙的小胜利（2020-09-29）

1 簡介
2 敍述
3 特例
4 複變函數中的柯西不等式
5 其它推廣
6 參見