數學形態學

數學形態學（Mathematical morphology）是一門建立在格論和拓撲學基礎之上的圖像分析學科，是數學形態學圖像處理的基本理論。其基本的運算包括：腐蝕和膨脹、開運算和閉運算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態學梯度、Top-hat變換、顆粒分析、流域變換等。 ^[1] 

在數學中，格是其非空有限子集都有一個上確界（叫並）和一個下確界（叫交）的偏序集合（poset）。格也可以特徵化為滿足特定公理恆等式的代數結構。因為兩個定義是等價的，格理論從序理論和泛代數二者提取內容。半格包括了格，依次包括海廷代數和布爾代數。這些"格樣式"的結構都允許序理論和抽象代數的描述。 ^[1] 

在數學裏，拓撲學（英語：topology），或意譯為位相幾何學，是一門研究拓撲空間的學科，主要研究空間內，在連續變化（如拉伸或彎曲，但不包括撕開或黏合）下維持不變的性質。在拓撲學裏，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。

拓撲學是由幾何學與集合論裏發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲，他在17世紀提出“位置的幾何學”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的説法。萊昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。“拓撲學”一詞由利斯廷於19世紀提出，雖然直到20世紀初，拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉，拓撲學已成為數學的一大分支。

拓撲學有許多子領域：

數學形態學是由一組形態學的代數運算子組成的，它的基本運算有4個： 膨脹（或擴張）、腐蝕（或侵蝕）、開啓和閉合，它們在二值圖像和灰度圖像中各有特點。基於這些基本運算還可推導和組合成各種數學形態學實用算法，用它們可以進行圖像形狀和結構的分析及處理，包括圖像分割、特徵抽取、邊緣檢測、 圖像濾波、圖像增強和恢復等。數學形態學方法利用一個稱作結構元素的“探針”收集圖像的信息，當探針在圖像中不斷移動時， 便可考察圖像各個部分之間的相互關係，從而瞭解圖像的結構特徵。數學形態學基於探測的思想，與人的FOA(Focus Of Attention)的視覺特點有類似之處。作為探針的結構元素，可直接攜帶知識（形態、大小、甚至加入灰度和色度信息）來探測、研究圖像的結構特點。 ^[1] 

數學形態學的基本思想及方法適用於與圖像處理有關的各個方面，如基於擊中/擊不中變換的目標識別，基於流域概念的圖像分割，基於腐蝕和開運算的骨架抽取及圖像編碼壓縮，基於測地距離的圖像重建，基於形態學濾波器的顆粒分析等。迄今為止，還沒有一種方法能像數學形態學那樣既有堅實的理論基礎，簡潔、樸素、統一的基本思想，又有如此廣泛的實用價值。有人稱數學形態學在理論上是嚴謹的，在基本觀念上卻是簡單和優美的。

數學形態學是一門建立在嚴格數學理論基礎上的學科，其基本思想和方法對圖像處理的理論和技術產生了重大影響。事實上，數學形態學已經構成一種新的圖像處理方法和理論，成為計算機數字圖像處理及分形理論的一個重要研究領域，並且已經應用在多門學科的數字圖像分析和處理的過程中。這門學科在計算機文字識別， 計算機顯微圖像分析(如定量金相分析，顆粒分析)， 醫學圖像處理（例如細胞檢測、心臟的運動過程研究、脊椎骨癌圖像自動數量描述），圖像編碼壓縮，工業檢測(如食品檢驗和印刷電路自動檢測)，材料科學， 機器人視覺，汽車運動情況監測等方面都取得了非常成功的應用。另外，數學形態學在指紋檢測、經濟地理、合成音樂和斷層X光照像等領域也有良好的應用前景。形態學方法已成為圖像應用領域工程技術人員的必備工具。目前，有關數學形態學的技術和應用正在不斷地研究和發展。 ^[2]