擴張性質

擴張性質是關於泛函擴張定理推廣到有界線性算子而引入的一個概念。

設M是賦範線性空間X的任意線性子空間，若由M到巴拿赫空間Y的每個有界線性算子T。至少有一在X上的擴張T，即至少存在一個由X到Y的有界線性算子T，當x∈M時Tx=T₀x，使||T||=||T₀||，則稱Y具有擴張性質。

哈恩-巴拿赫定理意味着實數空間R具有擴張性質。

巴拿赫空間Y具有擴張性質的充分必要條件是：對於任何包含Y為其賦範線性子空間的每個賦範線性空間Y₀，都存在一個由Y₀到Y的範數為1的射影算子。

這個結果是由納赫賓(Nachbin,L.)於1950年得到的。 ^[1] 

巴拿赫空間有兩種常見的類型：“實巴拿赫空間”及“復巴拿赫空間”，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的域之上。

許多在數學分析中學到的無限維函數空間都是巴拿赫空間，包括由連續函數（緊緻赫斯多夫空間上的連續函數）組成的空間、由勒貝格可積函數組成的Lp空間及由全純函數組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其範數。