拓撲環

在幾何上，一個環面是一個甜甜圈形狀的旋轉曲面，由一個圓繞一個和該圓共面的一個軸迴轉所生成。球面可以視為環面的特殊情況，也就是旋轉軸是該圓的直徑時。若轉軸和圓不相交，圓面中間有一個洞，就像一個甜甜圈，一個呼啦圈，或者一個充了氣的輪胎。另一個情況，也就是軸是圓的一根弦的時候，就產生一個擠扁了的球面，就像一個圓的座墊那樣。英文Torus曾是拉丁文的這種形狀的座墊。

圓環面可以參數式地定義為：

其中u,v∈ [0, 2π]，R是管子的中心到畫面的中心的距離，r是圓管的半徑。

直角座標系中的關於z-軸方位角對稱的環面方程是

該圓環面的表面積和內部體積如下

根據更一般的定義，環面的生成元不必是圓，而可以是橢圓或任何圓錐曲線。 ^[1] 

拓撲學上，一個環面是一個定義為兩個圓的積的閉合曲面：S×S。 上述曲面，若採用R誘導的相對拓撲，則同胚於一個拓撲環面，只要它不和自己的軸相交。

該環面也可用歐幾里得平面的一個商空間來表述，這是通過如下的等價關係來完成的

或者等價地説，作為單位正方形將對邊粘合的商空間，表述為基本多邊形

。

環面的基本羣是圓的基本羣和自身的直積：

直觀地講，這意味着一個先繞着環面的“洞”（譬如，沿着某個緯度方向的圓）然後繞着環面“實體”（譬如，沿着特定經度方向的圓）的閉路徑可以變形成為先繞實體後繞空心的路徑。所以，嚴格的經度方向和嚴格的緯度方向的路徑是可交換的。這可以想象成為兩個鞋帶互相穿過然後解開再繫上。

環面的第一同調羣和基本羣同構（因為基本羣是交換羣）。 ^[2]