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全微分方程
鎖定
- 判 別
- 充要條件∂M/∂y=∂N/∂x
- 求解方法
- 不定積分法和分組法
- 領 域
- 微積分
目錄
- 1 定義
- 2 全微分方程的通積分形式
- 3 全微分方程的判別與求解
全微分方程定義
一階顯式方程
如果存在一個二元函數
使得該方程的左端恰好是它的全微分,即有
全微分方程全微分方程的通積分形式
當方程
是全微分方程時,它可寫成
,於是其通積分就是
其中
為任意常數。
事實上,設
是原方程的解,則有
這表明
滿足方程(2)。
反之,設
是函數方程(2)的解,即它是由(2)所確定的隱函數,則有
即
這表明
滿足方程(1)。
因此全微分方程的通積分形式是
。
全微分方程全微分方程的判別與求解
①如何判別方程(1)為全微分方程,這個問題在數學內早有結論,即
方程(1)是全微分方程的充分必要條件是
②如果已判定方程(1)為全微分方程,如何求出相應全微分的原函數
,這個問題在數學分析中也已經得到解決,最常用的方法是不定積分法。
因為所求的原函數
適應方程組
首先由第一個式子出發,把
看成參數,兩邊對
積分,得
而對於不是全微分的方程,可以採用積分因子使其成為全微分方程,再根據以上方法求解。