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積分因子
鎖定
對於微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，如果存在連續可微函數μ(x,y)，可以使μMdx+μNdy=0成為恰當方程，即μMdx+μNdy=du，則稱μ為該微分方程的積分因子。求解積分因子的常用方法主要由觀察法、積分法和分組法。
- 中文名
- 積分因子
- 外文名
- integrating factor
- 應 用
- 將非恰當方程化為恰當方程
- 定 義
- 對於微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，如果存在連續可微函數μ(x,y)，可以使μMdx+μNdy=0成為恰當方程
積分因子定義
由於恰當方程可以比較方便的求出通解，於是人們想到能否將一非恰當方程化為恰當方程呢？由此就引入了積分因子的概念。
如果存在連續可微函數
，使得
積分因子存在性
可以證明，只要方程
有解存在，則必有積分因子存在，且不是唯一的。
事實上，設該方程有通解
，對其微分可得
積分因子確定方法
積分因子觀察法
積分因子積分法
設方程
存在積分因子
，則方程
變為
，因為
與
無關，所以方程有解的充要條件是：
僅與
有關。設
，則
從而
積分因子分組法
如果
是方程的一個積分因子，使得
，則
也是該方程的一個積分因子，其中
是
的任一可微非零函數。
利用上述定理使分組求積分因子的方法一般化。如果方程左端可以分成兩組，即
設兩組分別有積分因子
使得
