忠實函子

定義1 設F:ℂ→𝔹為共變(反變)函子，若對任意的

以及任意的

，在

時必有

，則稱F為忠實函子(faithful functor)。否則稱F為不忠實函子，注意函子的忠實性是對態射而言的 ^[2]  。 ^[4] 

定義2 設F是由範疇ℂ到𝔹的函子，若對於ℂ的每對對象

都能使

到

中的映射

是單射，則稱F為忠實函子(faithful functor)。 ^[4] 

忠實函子與忠實函子的複合為忠實函子。 ^[4] 

定義3 設F是由範疇ℂ到𝔹的函子，若對於ℂ的每對對象

都能使

到

中的映射

是滿射，則稱F為滿函子(full functor) ^[3]  。

例1(1)設𝔻是範疇

的子範疇，則𝔻到ℂ 的、使𝔻的每個對象A映射到(ℂ的)對象A，且使𝔻的每個態射f映射到(ℂ的)態射f的映射F作成一個由𝔻到ℂ 的單射函子(injection functor)。

(2)由羣範疇Grp到集範疇Set的函子F：它是一個使羣的對象類映射入羣的基集，使羣的同態射映入相應的映射的映射。

(3) 取任一單元環

，則它具有兩種代數結構：加羣

及單元半羣

，此外，一個環同態同時也是一個加羣同態和一個單元半羣同態，按照上述方法可得到由Ring到Ab的函子及由Ring到Mon的函子。

(4) 積範疇ℂ×𝔻到範疇ℂ中的射影函子(projectionfunctor)：它是將ℂ×𝔻的對象

映射到

的對象A，將

映射到

的映射

。

分析：(1)由範疇ℂ的子範疇𝔻到ℂ的單射函子是忠實函子；它是滿函子當且僅當𝔻是ℂ的滿子範疇。

(2)、(3)的由Grp到Set、由Ring到Ab及由Ring到Mon的函子都是忠實的，但卻不是滿函子。

(4)由ℂ×𝔻到ℂ的射影函子是滿的但卻不是忠實的 ^[3]  。

如果

使

，且

對任意的ℂ中態射成立，則F稱為恆等(單位)函子(identity functor)。容易看出，恆等函子是忠實函子 ^[2]  。

在範疇論的應用中，特別是在同調代數中，最感興趣的是所謂“具體範疇”(concrete category)。通常認為：若範疇

的對象都是集合，且態射首先是集映射，則

為具體範疇，對這種範疇

中任意的對象A，以

表示A的基礎集(即將A只看作集合)。於是

且

。容易看出，

也是一個共變的忠實函子。於是，更一般地，若有從範疇ℂ到

的忠實函子

，則稱ℂ為一個具體範疇。

當具體範疇

的對象都具有某些結構時，比如拓撲羣範疇

中的對象都有拓撲結構與羣結構，上述的

起着“忘卻ℂ中對象的結構，只看作集合，態射也只看作集映射”的作用，特稱為底函子(forgetful functor)。有時，將忘卻部分結構的函子稱為部分忘卻函子，比如忘卻拓撲羣的拓撲結構，只注意羣結構，則得

到G的部分忘卻函子 ^[2]  。

範疇生成子(generator of a category)是範疇的一個特殊對象，範疇C中使

為忠實函子的對象A稱為它的一個生成子。換句話説，對任意的C中對象X，Y，若

，且

，則必有

使

，這時就稱A為C的一個生成子。對偶地可定義上生成子的概念，即C中使

為忠實函子(即對上述的

，必有

使

)的對象A稱為它的一個上生成子，A為C的上生成子等價於A為C的對偶範疇C°的生成子 ^[1]  。