積範疇

給定範疇B與C，則B×C稱為B與C的積範疇，

對象為<b,c>；

態射<b,c>→<b',c'>為<f:b→b',g:c→c'>；

態射的複合為<f',g'>∘<f,g>=<f'∘f,g'∘g>。 ^[3] 

積範疇(product category)是範疇論的基本概念之一。指由一些範疇組成的新範疇。設{C_λ}，λ∈Λ為一個範疇集合，由它們可作出一個新範疇

。即，記(…，A_λ，…)為

的對象，其中A_λ∈C_λ，規定其態射集為：

(右端的∏表集合的直積，即“笛卡兒積”)，規定其態射合成為各分量中態射的合成，即：

這樣得到的範疇

稱為{C_λ}的積範疇。其恆等態射為

範疇論的基本概念之一。稱C是一個範疇，是指C滿足下述六點： ^[1] 

1.C有一個對象類{A，B，C，…}(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C。

2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B。

3.對給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成。

4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。

5.態射合成滿足結合律。

6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素ε_A使對σ∈Hom(A，B)恆有σε_A=σ=ε_Bσ，稱ε_A為A的恆等態射(ε_B為B的恆等態射)。

例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得羣範疇Group，阿貝爾羣範疇AG，環R上的左R模範疇_RM等.以自然數為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φ_ab，ab時定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個範疇.一般地，對每個擬序集都可仿此定義範疇。

代數學的一個重要分支。數學的各個領域都有各自的研究對象。例如，集合論研究集合與映射；線性代數研究線性空間與線性映射；羣論研究羣與羣同態；拓撲學研究拓撲空間與連續映射。在20世紀中期，數學家們認為有必要將各個領域中的研究對象各自合在一起成為一個整體，使之成為一種數學系統，這就是範疇思想。於是，所有的集合與映射組成集合範疇；所有的羣與羣同態組成羣範疇。在各個範疇之間往往存在着內在聯繫與變換。例如，一個羣模去其換位子羣的商羣(稱為交換化)得到一個交換羣，從而交換化成為羣範疇到交換羣範疇的一個變換，且這個變換保持着羣同態及其合成。事實上，這就是函子的思想。在域F上的線性空間範疇中，任一線性空間L必有惟一的對偶空間L=Hom_F(L，F)，“*”可看成這個線性空間範疇到自身的一個變換。儘管當L為有限維時L與L是同構的(記這個同構為τ：L→L)，但這個同構不是“自然”的。即，若L₁與L₂間有一個同構α：L₁→L₂，“*”誘導出L₂到L₁的一個同構為α，但對L₁中的元素x來説，τα(x)一般地並不等於ατ(x)。這就引起“自然性”的研究。艾倫伯格(Eilenberg，S.)與麥克萊恩(MacLane，S.)於1945年發表的論文《自然等價的一般理論》為範疇論的建立作出了奠基性的工作。 ^[2] 

在某種意義上來説，範疇論提煉了數學(甚至其他學科)各分支的共性，是比集合論更高一個層次的數學公共語言與工具。它使數學各個領域的研究通過箭頭圖做了一致化與簡單化的處理，更加顯示其本質上的東西，同時使許多數學系統的性質通過圖的泛性質得到了深刻的刻畫。戈德門特(Godement，R.)於1958年將範疇論應用到拓撲學，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)於1958年將範疇論應用到微分幾何，格羅騰迪克(Grothendieck，A.)與迪厄多內(Dieudonné，J.)於1960年將範疇論應用到代數幾何.現在，範疇論在上述學科及同調代數、代數K理論、模論、環論等學科中都得到了成功的應用。應用範疇論時，關鍵是先搞清研究問題以什麼作對象，以什麼作態射。研究不同範疇之間的關係時，關鍵在於找到適當的函子。範疇論的核心是函子理論。艾倫伯格與麥克萊恩為了搞清某些同構(等價)的“自然”變換之精確含義，於1945年引入範疇與函子的概念去定義自然變換。現在，範疇論已滲透到現代數學的各個領域(甚至已應用到計算機科學等)，成為現代數學的基礎。