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後驗分佈
鎖定
- 推斷方法
- 能再涉及X的樣本分佈Pθ
- 定 義
- 根據樣本 X 的分佈Pθ及θ的先驗分佈π(θ),用概率論中求條件概率分佈的方法,可算出在已知X=x的條件下,θ的條件分佈 π(θ|x)。因為這個分佈是在抽樣以後才得到的
後驗分佈基本定義
貝葉斯學派認為:這個後驗分佈綜合了樣本X及先驗分佈π(θ)所提供的有關的信息。抽樣的全部目的,就在於完成由先驗分佈到後驗分佈的轉換。如上例,設p=P(θ=1)=0.001,而π(θ=1|x)=0.86,則貝葉斯學派解釋為:在某甲的指標量出之前,他患病的可能性定為0.001,而在得到X後,認識發生了變化:其患病的可能性提高為0.86,這一點的實現既與X有關,也離不開先驗分佈。計算後驗分佈的公式本質上就是概率論中著名的貝葉斯公式(見概率),這公式正是上面提到的貝葉斯1763年的文章的一個重要內容。
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後驗分佈推斷方法
後驗分佈例子
例如,在奈曼-皮爾遜理論(見假設檢驗)中,為了確定水平α的檢驗的臨界值C,必須考慮X的分佈Pθ,這在貝葉斯推斷中是不允許的。但貝葉斯推斷在如何使用π(θ│X)上,有一定的靈活性,例如為作θ的點估計,可用後驗分佈密度h(θ|X)關於θ的最大值點,也可以用π(θ|X)的均值或中位數(見概率分佈)等。為作θ的區間估計,可以取區間[A(X),B(X)],使π(A(X)≤θ≤B(X)│X)等於事先指定的數1-α(0<α<1),並在這個條件下使區間長度B(X)-A(X)最小。若要檢驗關於θ的假設H:θ∈ω,則可以算出ω的後驗概率 π(ω|X),然後在π(ω│X)<1/2時拒絕H。如果是統計決策性質(見統計決策理論)問題,則有一定的損失函數L(θ,α),知道了π(θ|X),可算出各行動α的後驗風險,即L(θ,α)在後驗分佈π(θ|X)下的數學期望值,然後挑選行動α使這期望值達到最小,這在貝葉斯統計中稱為“後驗風險最小”的原則,是貝葉斯決策理論中的根本原則和方法。
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