後驗概率

後驗概率是指在得到“結果”的信息後重新修正的概率，是“執果尋因”問題中的"果"。先驗概率與後驗概率有不可分割的聯繫，後驗概率的計算要以先驗概率為基礎 ^[2]  。

事情還沒有發生，要求這件事情發生的可能性的大小，是先驗概率。事情已經發生，要求這件事情發生的原因是由某個因素引起的可能性的大小，是後驗概率。

先驗概率不是根據有關自然狀態的全部資料測定的，而只是利用現有的材料(主要是歷史資料)計算的；後驗概率使用了有關自然狀態更加全面的資料，既有先驗概率資料，也有補充資料；

先驗概率的計算比較簡單，沒有使用貝葉斯公式；而後驗概率的計算，要使用貝葉斯公式，而且在利用樣本資料計算邏輯概率時，還要使用理論概率分佈，需要更多的數理統計知識。

假設一個學校裏有60%男生和40%女生。女生穿褲子的人數和穿裙子的人數相等，所有男生穿褲子。一個人在遠處隨機看到了一個穿褲子的學生。那麼這個學生是女生的概率是多少？

使用貝葉斯定理，事件A是看到女生，事件B是看到一個穿褲子的學生。我們所要計算的是P(A|B)。

P(A)是忽略其它因素，看到女生的概率，在這裏是40%

P(A')是忽略其它因素，看到不是女生（即看到男生）的概率，在這裏是60%

P(B|A)是女生穿褲子的概率，在這裏是50%

P(B|A')是男生穿褲子的概率，在這裏是100%

P(B)是忽略其它因素，學生穿褲子的概率，P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')，在這裏是0.5×0.4 + 1×0.6 = 0.8。

根據貝葉斯定理，我們計算出後驗概率P(A|B)

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)=0.25

可見，後驗概率實際上就是條件概率。

在統計學和金融經濟學中，隨機變量X的概率分佈為 f(x|θ)，先驗概率分佈為 f(θ)，根據貝葉斯定理，後驗概率分佈為f(θ|x):

式中，歸一化常數c的積分是高維積分，是很難進行數值計算的，因此歸一化常數c可以認為是未知的，所以後驗概率分佈是不完全已知概率分佈。對於不完全已知概率分佈，直接抽樣方法不適用，應採用間接抽樣方法，如馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法。 ^[3] 

1、當根據經驗及有關材料推測出主觀概率後，對其是否準確沒有充分把握時，可採用概率論中的貝葉斯公式進行修正，修正前的概率稱為先驗概率，修正後的概率稱為後驗概率，利用後驗概率再進行風險分析。

2、信息技術革命加快了人類邁向信息社會實際情況的進程，世界信息服務業正在成為最強勁的實質上，它是以新的信息做為條件的條件概經濟增長點。

3、P{H0|x}是給定觀測值x條件下H0出現的概率，統稱為後驗概率。根據貝葉斯公式，後驗概率可表示為P{H0|x}=P（H0）P{x|H0}/P（x），P{H1|x}=P（H1）P{x|H1}/P（x）。式中，P（x）為x的概率密度。

4、也就是獲得條件概率P(ωωt-k)，這個概率常常稱為後驗概率。利用後驗概率進行系統的狀態決策無疑是更加合理的方法，因為它充分利用了先驗知識和觀測到歷史時間變量的信息。

5、這個概率稱為後驗概率，根據貝葉斯規則計算如下：P[^ωΦ(t)]=maxωP[Φ(t)ω]P(ω)P[Φ(t)]，這裏的條件概率P[Φ(t)ω]是比較故障模型和輸入模式之間符合程度的結果。

舉一個簡單的例子：一口袋裏有3只紅球、2只白球，採用不放回方式摸取，求：

⑴ 第一次摸到紅球（記作A）的概率；

⑵ 第二次摸到紅球（記作B）的概率；

⑶ 已知第二次摸到了紅球，求第一次摸到的是紅球的概率。

解：

⑴ P(A)=3/5，這就是驗前概率；

⑵ P(B)=P(A)P(B|A)+P(A逆)P(B|A逆)=3/5

⑶ P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=1/2，這就是後驗概率。