貝葉斯定理

人們根據不確定性信息作出推理和決策需要對各種結論的概率作出估計，這類推理稱為概率推理。概率推理既是概率學和邏輯學的研究對象，也是心理學的研究對象，但研究的角度是不同的。概率學和邏輯學研究的是客觀概率推算的公式或規則；而心理學研究人們主觀概率估計的認知加工過程規律。貝葉斯推理的問題是條件概率推理問題，這一領域的探討對揭示人們對概率信息的認知加工過程與規律、指導人們進行有效的學習和判斷決策都具有十分重要的理論意義和實踐意義。 ^[1] 

貝葉斯公式（發表於1763年）為：

這就是著名的“貝葉斯定理”，一些文獻中把

、

稱為基礎概率，

為擊中率，

為誤報率[1] ^[2]  。

貝葉斯定理在檢測吸毒者時很有用。假設一個常規的檢測結果的敏感度與可靠度均為

，也就是説，當被檢者吸毒時，每次檢測呈陽性（用“

”表示）的概率為

。而被檢者不吸毒時，每次檢測呈陰性（用“

”表示）的概率為

。從檢測結果的概率來看，檢測結果是比較準確的，但是貝葉斯定理卻可以揭示一個潛在的問題。假設某公司將對其全體僱員進行一次鴉片吸食情況的檢測，已知

的僱員吸毒。我們想知道，每位醫學檢測呈陽性的僱員吸毒的概率有多高。令“

”為該公司僱員吸毒事件，“

”為該公司僱員不吸毒事件，“

”為該公司僱員檢測呈陽性事件。可得

儘管我們的檢測結果可靠性很高，但是隻能得出如下結論：如果某人檢測呈陽性，那麼此人是吸毒的概率只有大約

，也就是説此人不吸毒的可能性比較大。我們測試的條件（本例中指

，僱員吸毒）越難發生，發生誤判的可能性越大。

但如果讓此人再次複檢（相當於

，為吸毒者概率，替換了原先的

），如果檢測結果依然呈陽性，再使用貝葉斯定理計算，將會得到此人吸毒的概率為

。貝葉斯定理最強的地方在於，如果讓此人第三次檢測，再次使用貝葉斯定理計算，會得到此人吸毒的概率約為

，這個數已經超過了一個常規檢測的可靠度。

貝葉斯定理用於投資決策分析是在已知相關項目B的資料，而缺乏論證項目A的直接資料時，通過對B項目的有關狀態及發生概率分析推導A項目的狀態及發生概率。如果我們用數學語言描繪，即當已知事件Bi的概率P（Bi）和事件Bi已發生條件下事件A的概率P（A│Bi），則可運用貝葉斯定理計算出在事件A發生條件下事件Bi的概率P（Bi│A）。按貝葉斯定理進行投資決策的基本步驟是：

1 列出在已知項目B條件下項目A的發生概率，即將P（A│B）轉換為 P（B│A）；

2 繪製樹型圖；

3 求各狀態結點的期望收益值，並將結果填入樹型圖；

4 根據對樹型圖的分析，進行投資項目決策。

搜索巨人Google和Autonomy，一家出售信息恢復工具的公司，都使用了貝葉斯定理（Bayesian principles）為數據搜索提供近似的（但是技術上不確切）結果。研究人員還使用貝葉斯模型來判斷症狀和疾病之間的相互關係，創建個人機器人，開發能夠根據數據和經驗來決定行動的人工智能設備。

貝葉斯（1701年—1761年，Thomas Bayes），英國數學家。1701年出生於倫敦，做過神父。1742年成為英國皇家學會會員。1761年4月7日逝世。貝葉斯在數學方面主要研究概率論。他首先將歸納推理法用於概率論基礎理論，並創立了貝葉斯統計理論，對於統計決策函數、統計推斷、統計的估算等做出了貢獻。1763年由Richard Price整理發表了貝葉斯的成果《An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances》 ^[3]  ，對於現代概率論和數理統計都有很重要的作用。貝葉斯的另一著作《機會的學説概論》發表於1758年。貝葉斯所採用的許多術語被沿用至2021。 ^[4]