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條件概率
鎖定
- 中文名
- 條件概率
- 外文名
- Conditional probability
- 分 類
- 數學
- 表 示
- P（A|B）
- 計 算
- 決策樹
- 定 理
- 貝葉斯公式
條件概率基本概念
條件概率
概率測度
如果事件 B 的概率 P(B) > 0，那麼 Q(A) = P(A | B) 在所有事件 A 上所定義的函數 Q 就是概率測度。 如果 P(B) = 0，P(A | B) 沒有定義。 條件概率可以用決策樹進行計算。
[1]
聯合概率
表示兩個事件共同發生的概率。A與B的聯合概率表示為 P(AB) 或者P(A,B),或者P(A∩B)。
[2]
邊緣概率
是某個事件發生的概率，而與其它事件無關。邊緣概率是這樣得到的：在聯合概率中，把最終結果中不需要的那些事件合併成其事件的全概率而消失（對離散隨機變量用求和得全概率，對連續隨機變量用積分得全概率）。這稱為邊緣化（marginalization）。A的邊緣概率表示為P(A)，B的邊緣概率表示為P(B)。
條件概率公式
條件概率基本定理
定理1
設A，B 是兩個事件，且A不是不可能事件，則稱
為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率。一般地，
，且它滿足以下三條件：
（1）非負性；（2）規範性；（3）可列可加性。
定理2
設E 為隨機試驗，Ω 為樣本空間，A，B 為任意兩個事件，設P(A)>0，稱
為在“事件A 發生”的條件下事件B 的條件概率。
上述乘法公式可推廣到任意有窮多個事件時的情況。
設
，
，…
為任意n 個事件（n≥2）且
，則
定理3(全概率公式)
定義：（完備事件組/樣本空間的劃分）
設B1，B2，…Bn是一組事件,若
（1）
（2）B1∪B2∪…∪Bn=Ω
則稱B1，B2，…Bn樣本空間Ω的一個劃分，或稱為樣本空間Ω 的一個完備事件組。
定理（全概率公式）：
設事件組
是樣本空間Ω 的一個劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…n）
則對任一事件A，有
定理4(貝葉斯公式)
設B1，B2，…Bn…是一完備事件組，則對任一事件A，P（A）>0，有
條件概率統計獨立性
當且僅當兩個隨機事件A與B滿足
P(A∩B)=P(A)P(B)
的時候，它們才是統計獨立的，這樣聯合概率可以表示為各自概率的簡單乘積。
同樣，對於兩個獨立事件A與B有
P(A|B)=P(A)
以及
P(B|A)=P(B)
換句話説，如果A與B是相互獨立的，那麼A在B這個前提下的條件概率就是A自身的概率；同樣，B在A的前提下的條件概率就是B自身的概率。
條件概率互斥性
當且僅當A與B滿足
P(A∩B)=0
且P(A)≠0，P(B)≠0
的時候，A與B是互斥的。
因此，
P(A|B)=0
P(B|A)=0
換句話説，如果B已經發生，由於A不能和B在同一場合下發生，那麼A發生的概率為零；同樣，如果A已經發生，那麼B發生的概率為零。
條件概率其它
如果事件B的概率，P(B)>0
那麼Q(A)=P(A|B)在所有事件A上所定義的函數Q就是概率測度。
如果P(B)=0，P(A|B)沒有定義。
條件概率著名謬論
條件概率的謬論是假設 P(A|B) 大致等於 P(B|A)。數學家John Allen Paulos 在他的《數學盲》一書中指出醫生、律師以及其他受過很好教育的非統計學家經常會犯這樣的錯誤。這種錯誤可以通過用實數而不是概率來描述數據的方法來避免。
P(A|B) 與 P(B|A)的關係如下所示：
P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)
下面是一個虛構但現實的例子，P(A|B) 與 P(B|A)的差距可能令人驚訝，同時也相當明顯。
若想分辨某些個體是否有重大疾病，以便早期治療，我們可能會對一大羣人進行檢驗。雖然其益處明顯可見，但同時，檢驗行為有一個地方引起爭議，就是有檢出假陽性的結果的可能：若有個未得疾病的人，卻在初檢時被誤檢為得病，他可能會感到苦惱煩悶，一直持續到更詳細的檢測顯示他並未得病為止。而且就算在告知他其實是健康的人後，也可能因此對他的人生有負面影響。
這個問題的重要性，最適合用條件機率的觀點來解釋。
假設人羣中有1%的人罹患此疾病，而其他人是健康的。我們隨機選出任一個體，並將患病以disease、健康以well表示：
P(disease) = 1% = 0.01 and P(well) = 99% = 0.99. 假設檢驗動作實施在未患病的人身上時，有1%的機率其結果為假陽性（陽性以positive表示）。意即：
P(positive | well) = 1%，而且P(negative | well) = 99%. 最後，假設檢驗動作實施在患病的人身上時，有1%的機率其結果為假陰性（陰性以negative表示）。意即：
P(negative | disease) = 1%且P(positive | disease) = 99%。由計算可知：P(negative | well) = 99%
是整羣人中健康、且測定為陰性者的比率。
P(positive|disease) = 99% 是整羣人中得病、且測定為陽性者的比率。
是整羣人中被測定為假陽性者的比率。
是整羣人中被測定為假陰性者的比率。
進一步得出：
是整羣人中被測出為陽性者的比率。
P(disease|positive) = 50% 是某人被測出為陽性時，實際上真的得了病的機率。
