-
彈簧振子
鎖定
- 中文名
- 彈簧振子
- 外文名
- mass spring
- 範 疇
- 物理模型
彈簧振子模型介紹
概述圖所示是一個彈簧振子的模型,其中金屬桿光滑,輕質彈簧質量遠小於金屬小球的質量,故可忽略不計。
位置 | A | A→ O | O | O→ B | B |
位移大小 | 最大 | 減小 | 0 | 增大 | 最大 |
速度大小 | 0 | 增大 | 最大 | 減小 | 0 |
動能 | 0 | 增大 | 最大 | 減小 | 0 |
勢能 | 最大 | 減小 | 0 | 增大 | 最大 |
總能 | 不變 | 不變 | 不變 | 不變 | 不變 |
單擺也是一種理想化的模型,它的結構是一根輕質無彈性的細線一端懸掛(即細線的伸縮不計),另一端下系一小球,當小球的直徑遠小於線的長度,且小球的質量遠大於細線時,在不計空氣阻力的情況下,這樣的裝置叫單擺。當單擺的擺角小於等於5°,且在豎直平面內做往復運動時,所做的運動也是簡諧振動。小球是一個做簡諧振動的振子,意義和彈簧振子相同。
其中k表示彈簧的勁度係數
m表示彈簧振子(小球)的質量。
彈簧振子推導過程
並不嚴格的方法
由簡諧振動位移公式 x=Acosωt (1)
對時間t求一次導數: v=-Aωsinωt
再對時間t求一次導數:a=-Aω²cosωt=-ω²x (2)
再考慮簡諧振動的力的公式-kx=ma (3)
比較(1)、(2)、(3)三式(代入)
有-kAsinωt=-mAω²sinωt
整理得ω²=k/m
開方得ω=√(k/m)
則T=2π/ω=2π√(m/k)
把座標原點選在彈簧原長處,x軸沿彈簧方向,由牛頓第二定律
從三角函數的知識可知
用拉格朗日方法推導彈簧振子運動方程
先寫出拉格朗日函數