庫恩塔克條件

庫恩-塔克爾條件(Kuhn-Tucker condition)是判定約束非線性規劃問題的某可行點為極小點的必要條件。對於凸規劃來説，則是判別極小點的充分必要條件。對於約束非線性規劃問題(NP)(參見“非線性規劃”)，設其中

和

在R的某一開集上一階連續可微，

是問題的極小點，且是約束條件的正則點，則存在向量

及μ=(μ₁，μ₂，…，μ_q)，使得

此即為所考慮約束非線性規劃問題(NP)的庫恩-塔克爾條件，也稱一階必要條件，

稱為庫恩-塔克爾乘子。由上述庫恩-塔克爾條件可知，只有當

在

點為起作用約束時，可以有

否則，

。1951年，庫恩(H.W.Kuhn)和塔克爾(A.W.Tucker)證明了這一條件，為非線性規劃奠定了重要理論基礎 ^[1]  。

令

及

考慮如下最優化問題:

點集

叫做可行集。如果在某一特定的

，有

，則稱第

個約束是起作用的約束； 否則就稱第

個約束不起作用，或是一鬆弛的約束。

令

為在

處起作用的約束的梯度集：

={

對於所有的

滿足

}。

如果向量集

是線性無關的，那麼稱約束包成立 ^[2]  。

如果

是(1)的解且約束包在

成立。那麼存在一組庫恩一塔克乘子

使得

。進一步地，有互補鬆弛條件：

對於所有的

；

當

。

比較庫恩-塔克定理與拉格朗日定理，可以發現主要區別在於庫恩-塔克乘子的符號是非負的，而拉格朗日乘子可以是任意一個數，這一增加的信息優勢可以是很有用的。當然，庫恩-塔克定理僅是極大值條件的一個必要條件,然而，在一個重要的情形裏，它是必要且充分的。

假設

是一凹函數，

是一凸函數，

，令

為一可行點，並假設我們能夠找到非負數值

，使得

。那麼

是極大化問題(1)的解 ^[2]  。