平衡原理

如下靜電學中平衡問題的數學描述與推廣：確定在某一導體F上的正電荷分佈使其產生的能量為極小。給定一般位勢核K，若對任何緊集F⊂Ω，存在支集包含於F的正測度μ，μ(Ω)=1，使U_K(x)在F上K近乎處處等於某個常數E_K(F)，則稱K滿足弱平衡原理，μ稱為關於F的弱平衡問題的解；若同時有：

在Ω處處成立，則稱K滿足平衡原理。當E_K(F)>0時，1/E_K(F)等於F的K容量C_K(F)。α核滿足弱平衡原理且當0<α≤2，α<n時滿足平衡原理。在經典位勢論中，平衡問題(即對經典位勢如何確定上述的測度μ)與掃除問題、狄利克雷問題被列為位勢理論的三大基本問題。 ^[1] 

現代分析數學領域的一個分支，主要研究各種形式的位勢(函數)和與其密切關聯的調和函數、上(下、超、次)調和函數族的各種性質及其應用。經典位勢論的主要研究工具是微積分，並與微分方程、複變函數論緊密關聯；現代位勢論以拓撲、泛函分析與測度論、廣義函數等為主要工具，與分析數學領域的諸多分支相互滲透並和隨機過程建立了深刻的內在聯繫。位勢論起源於物理學的萬有引力學説和靜電學，遠在1733年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就注意到引力場是一個函數(稱為牛頓位勢)的梯度。在三維歐氏空間，一個單位質點ε_y的引力場在點x(x≠y)的牛頓位勢等於把一個單位質點從無窮遠移到點x所做的功，其值是1/|x-y|。因此，一個質量分佈μ的引力場在x的牛頓位勢是：

1772年，拉普拉斯(Laplace，P.-S.)證明了，在不分佈質量的地方，位勢滿足拉普拉斯方程。這樣，物理問題便化為求解偏微分方程的數學問題。

從18世紀到19世紀末，位勢論的研究限於n維歐氏空間上的牛頓位勢(n≥3)和對數位勢(n=2)，即所謂經典位勢論.其中心問題之一是古典狄利克雷問題的求解。1823年，泊松(Poisson，S.-D.)就球域情形給出瞭解的積分公式；1828年，格林(Green，G.)對邊界充分光滑的有界區域，從物理直觀出發並藉助於格林函數給出瞭解；1840年，高斯(Gauss，C.F.)採用變分法解決了平衡問題並得出狄氏問題的新解法。這兩個問題與掃除問題相關聯，此後一直被稱為位勢論三大基本問題。1855年，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)和黎曼(Riemann，(G.F.)B.)利用所謂狄利克雷原理給出瞭解。此外，還有龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)的掃除法，施瓦茲(Schwarz，H.A.)的交錯法等。但是，由於缺乏足夠的數學工具，這些解法是不嚴密的，需要附加條件.另外，在這一時期的主要成果還有：1839年，埃恩蘇(Earnshaw，E.)證明狄氏解的極值原理；1850年，黎曼把位勢論與函數論作統一處理，揭示了格林函數和位勢同保形映射之間的密切聯繫；1886年，哈納克(Harnack，C.G.A.)建立哈納克不等式及哈納克收斂原理。此外，關於諾伊曼問題及多重調和函數的研究也有不少成果。這樣，直到19世紀末，位勢論的三個基本原理，即極小值原理、收斂性質及狄利克雷問題的可解性已基本建立，它為現代位勢論的發展作了很好的準備。

20世紀以來，由於深入應用現代函數論、測度和積分的理論、泛函分析、一般拓撲學、抽象代數、現代概率論的思想和方法，位勢論得到蓬勃發展，開闢了新的研究方向，創造了新的方法，成為分析數學領域中比較徹底完成了現代化變革的一個分支，也影響了其他數學分支的發展。

20世紀初，一個重要發現是，1909年，扎雷姆巴(Zaremba，S.)所揭示的去心球體的經典的狄利克雷問題未必可解這一事實。1913年，由勒貝格(Lebesgue，H.L.)利用所謂勒貝格刺給出的不可解區域的反例更有深刻意義，這導致了對區域邊界非正則點的研究和廣義狄利克雷問題的提出，前者由凱洛格(Kellogg，O.D.)、布利岡(Bouligund，G.L.)、維納(Wiener，N.)等人完全解決;而佩龍(Perron，O.)於1923年提出了關於一般區域的廣義狄利克雷問題並給出新的解法，經過維納(1925年)，特別是佈雷洛(Brélot，M.E.)(1939年)的改進和推廣，得到解的存在和惟一性定理的一般形式。此外，柯爾荻希(Keldysh，M.V.)等人在20世紀30年代還研究了狄利克雷問題的解的穩定性。

1925年，里斯(Riesz，F.)引進了上(下)調和函數的概念，為位勢論研究提供了新的方法;里斯分解定理建立了上調和函數與位勢之間的緊密聯繫；而對上調和函數連續性的研究導致了細拓撲概念的引入。

20世紀30年代，瓦萊·普桑(Vallée-Poussin，C.-J.-G.-N.de la)用現代觀點改進並發展了龐加萊掃除法;弗羅斯特曼(Frostman，O.)發展了高斯變分法，成功地解決了緊集的平衡問題和掃除問題.同期，位勢論已推廣到非古典核的情況，特別是里斯位勢核，它已不屬於通常與偏微分方程關聯的位勢核了.

從20世紀40年代起，泛函分析、拓撲學的方法被系統地引入位勢論並使它發展到一個新水平.1941年，嘉當(Cartan，H.)利用希爾伯特空間理論研究具有有限能量的測度等，得到很大成功；同年，馬丁(Martin，R.S.)建立了馬丁邊界理論，導致了關於一般理想邊界的深入研究；1950年，戴尼(Deny，J.)用廣義函數論解決了完備化問題；1955年，紹凱(Choquet，G.)建立了一般容量理論及可容性定理，並用凸錐極端點理論改進了馬丁的成果。此外，對於更一般空間(例如流形、LCA羣)和更一般位勢核的位勢論也有了深入的探討。

近30多年來，位勢論迅速發展，其顯著特點之一是各種公理體系的建立。為統一處理已有的理論並加以推廣使之適用於一般橢圓型和拋物型方程或隨機過程，自20世紀50年代中期起，陶茨(Tautz，G.)、杜布(Doob，J.L.)、佈雷洛、鮑爾(Bauer，H.)、邦尼(Bony，J.M.)、康斯坦丁斯庫(Constantinescu，C.)和柯尼(Cornea，A.)等人分別提出了不同的公理系統，建立各種形式的調和空間位勢論(最近，關於多重調和空間及非線性位勢論的公理系統也先後建立起來)；而戴尼和博靈(Beurling，A.)等人則從能量和狄利克雷積分等概念出發建立了狄利克雷空間論。位勢論發展的另一個顯著特點是，越來越廣泛深入地與相鄰分支，如複分析(包括黎曼曲面)、拓撲學、幾何測度論、微分幾何、微分方程、調和分析等相互結合和滲透，且發揮日益明顯的作用與影響。特別引人注目的是，對於它與隨機過程論之深刻聯繫的深入研究，同時促進了這兩個分支的繁榮和發展，在杜布、亨特(Hunt，G.A.)、邁耶(Meyer，P.A.)和鍾開萊等人出色工作的基礎上，產生了所謂概率位勢論或馬爾可夫過程位勢論，與此有關的課題正吸引着大批學者去做深入研究。

掃除是位勢論的一個基本概念。稱核K滿足掃除原理，是指對任意緊集F及滿足U_K≢+∞的正測度μ，掃除問題有解，即存在正測度μ′(或記為β_Fμ)滿足：

處處成立且其中等號在F上K近乎處處成立。這樣的μ′=β_Fμ稱為把μ掃到F的掃除測度；U_K稱為掃除位勢；求解μ′的過程稱為掃除。格林核、α核(當0<α≤2，α<n時)滿足掃除原理，下面談及α掃除均指這樣的α核的掃除；當2<α<n時關於α核的測度掃除一般無解，但可用廣義函數另做處理(參見“掃除測度”)。掃除問題是經典位勢論三大基本問題之一。 ^[1]