概率位勢論

概率位勢論是研究位勢論與概率論的內在聯繫的新數學分支。

20世紀四五十年代，杜布(Doob,J.L.)、角谷靜夫等人發現了經典位勢論與布朗運動的深刻聯繫。

1954年，杜布的論文“半鞍與次調和函數”被公認為是開創了概率與位勢聯繫的研究的新篇章。

20世紀50年代中期以後，亨特(Hunt,G.A.)等人進一步把它推廣到相當一般的馬爾可夫過程，給出更具普遍意義的“位勢”的定義。

從此，位勢論的許多概念、性質獲得了明確的概率意義，而分析工具的引入大大促進了概率論的深入發展且又反過來影響位勢論。

上鞍與上調和函數的對應，它們的單調列的極限及里斯分解等性質的極端相似性揭示了鞍論與位勢論的內在聯繫；馬丁邊界被翻譯成概率的語言並用於研究馬氏過程；由於調和空間引入了次馬氏半羣和馬氏過程，概率方法進入了公理化位勢論；C^∞黎曼流形上由於麥金(Mckean,H.P.)等人用隨機微分方程建立擴散過程而提供了用概率方法研究流形上位勢論的一種方法；由博靈(Beurling,A.)和戴尼(Deny,J.)開創，富山、馬志明等人發展的狄氏型是研究概率與位勢結合的一種重要形式；波利特諾(Bliedtner,J.)和漢森(Hansen,W.)建立的掃除空間論，則用掃除作為工具將分析與概率位勢論統一起來。

總之，近幾十年來，位勢與概率的聯繫作為一個獨特的專題已經並且正在得到深入研究。 ^[1] 

位勢論是數學的一支，它可以定義為調和函數的研究。

“位勢論”一詞的來源在於，在19世紀的物理學中，自然界的基本力被相信為從滿足拉普拉斯方程的位勢導出。因此，位勢論研究可以作為位勢的函數。今天，我們知道自然界更為複雜——表述力的方程可以是諸如愛因斯坦場方程或者楊－米爾斯方程這樣的非線性偏微分方程的系統，而拉普拉斯方程只是在受限情況下的近似。但是，“位勢論”一詞還是保留了作為對滿足拉普拉斯方程的函數的研究的方便叫法。